Bảng đạo hàm đầy đủ: Công thức cơ bản, ln, e mũ x, logarit

Bảng đạo hàm là công cụ không thể thiếu giúp học sinh, sinh viên tra cứu nhanh các công thức đạo hàm đầy đủ. Bài viết tổng hợp bảng đạo hàm cơ bản, đạo hàm e mũ x, đạo hàm ln, đạo hàm logarit cùng quy tắc tính và ví dụ minh họa chi tiết.

Bảng đạo hàm cơ bản đầy đủ

Dưới đây là bảng đạo hàm tổng hợp các công thức cần nhớ, chia thành hai dạng: đạo hàm cơ bản và đạo hàm hàm hợp.

Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp

Hàm số ( y = f(x) ) Đạo hàm ( y’ = f'(x) ) ( y = c ) (hằng số) ( y’ = 0 ) ( y = x ) ( y’ = 1 ) ( y = x^n ) ( y’ = n cdot x^{n-1} ) ( y = sqrt{x} ) ( y’ = frac{1}{2sqrt{x}} ) ( y = frac{1}{x} ) ( y’ = -frac{1}{x^2} ) ( y = sqrt[n]{x} ) ( y’ = frac{1}{n cdot sqrt[n]{x^{n-1}}} ) ( y = e^x ) ( y’ = e^x ) ( y = a^x ) ((a > 0, a neq 1)) ( y’ = a^x cdot ln a ) ( y = ln x ) ( y’ = frac{1}{x} ) ( y = log_a x ) ((a > 0, a neq 1)) ( y’ = frac{1}{x cdot ln a} ) ( y = sin x ) ( y’ = cos x ) ( y = cos x ) ( y’ = -sin x ) ( y = tan x ) ( y’ = frac{1}{cos^2 x} ) ( y = cot x ) ( y’ = -frac{1}{sin^2 x} )

Bảng đạo hàm hàm hợp (dạng u)

Khi ( u = u(x) ) là hàm số theo ( x ), ta có bảng đạo hàm đầy đủ dạng hàm hợp:

Hàm số Đạo hàm ( y = u^n ) ( y’ = n cdot u^{n-1} cdot u’ ) ( y = sqrt{u} ) ( y’ = frac{u’}{2sqrt{u}} ) ( y = frac{1}{u} ) ( y’ = -frac{u’}{u^2} ) ( y = e^u ) ( y’ = u’ cdot e^u ) ( y = a^u ) ( y’ = u’ cdot a^u cdot ln a ) ( y = ln u ) ( y’ = frac{u’}{u} ) ( y = log_a u ) ( y’ = frac{u’}{u cdot ln a} ) ( y = sin u ) ( y’ = u’ cdot cos u ) ( y = cos u ) ( y’ = -u’ cdot sin u ) ( y = tan u ) ( y’ = frac{u’}{cos^2 u} ) ( y = cot u ) ( y’ = -frac{u’}{sin^2 u} )

Đạo hàm các hàm số sơ cấp chi tiết

Tổng hợp các công thức đạo hàm sơ cấp mà học sinh cần nắm rõ:

Đạo hàm hàm số mũ (đạo hàm e mũ x)

Đạo hàm e mũ x là một trong những công thức quan trọng nhất:

• Công thức cơ bản: ( (e^x)’ = e^x )
• Công thức hàm hợp: ( (e^u)’ = u’ cdot e^u )

Với hàm mũ cơ số ( a ):

• ( (a^x)’ = a^x cdot ln a ) với ( a > 0, a neq 1 )
• ( (a^u)’ = u’ cdot a^u cdot ln a )

Đạo hàm logarit (đạo hàm ln, đạo hàm ln u)

Đạo hàm ln và đạo hàm logarit được sử dụng rất phổ biến:

• Đạo hàm ln x: ( (ln x)’ = frac{1}{x} ) với ( x > 0 )
• Đạo hàm ln u: ( (ln u)’ = frac{u’}{u} ) với ( u > 0 )
• Đạo hàm logarit cơ số a: ( (log_a x)’ = frac{1}{x cdot ln a} )
• Đạo hàm logarit hàm hợp: ( (log_a u)’ = frac{u’}{u cdot ln a} )

Đạo hàm hàm lượng giác

Dạng cơ bản Dạng hàm hợp ( (sin x)’ = cos x ) ( (sin u)’ = u’ cdot cos u ) ( (cos x)’ = -sin x ) ( (cos u)’ = -u’ cdot sin u ) ( (tan x)’ = frac{1}{cos^2 x} ) ( (tan u)’ = frac{u’}{cos^2 u} ) ( (cot x)’ = -frac{1}{sin^2 x} ) ( (cot u)’ = -frac{u’}{sin^2 u} )

Đạo hàm hàm lượng giác ngược

• ( (arcsin x)’ = frac{1}{sqrt{1 - x^2}} )
• ( (arccos x)’ = -frac{1}{sqrt{1 - x^2}} )
• ( (arctan x)’ = frac{1}{1 + x^2} )
• ( (text{arccot } x)’ = -frac{1}{1 + x^2} )

Quy tắc tính đạo hàm

Khi đạo hàm, học sinh cần chú ý các điểm sau:

Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Cho ( u = u(x) ) và ( v = v(x) ) là các hàm số có đạo hàm:

Quy tắc Công thức Nhân hằng số ( (k cdot u)’ = k cdot u’ ) Tổng - Hiệu ( (u pm v)’ = u’ pm v’ ) Tích ( (u cdot v)’ = u’ cdot v + u cdot v’ ) Thương ( left( frac{u}{v} right)’ = frac{u’ cdot v - u cdot v’}{v^2} )

Quy tắc đạo hàm hàm hợp

Nếu ( y = f(u) ) và ( u = g(x) ), thì:

( y’_x = y’_u cdot u’_x )

Hay viết cách khác: ( frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx} )

Ví dụ và bài tập minh họa

Các bài tập dễ hiểu, có lời giải giúp bạn hiểu hơn về kiến thức bảng đạo hàm:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm hàm mũ

Đề bài: Tính đạo hàm của ( y = e^{3x + 1} )

Lời giải:

Đặt ( u = 3x + 1 Rightarrow u’ = 3 )

Áp dụng công thức đạo hàm e mũ x dạng hàm hợp:

( y’ = u’ cdot e^u = 3 cdot e^{3x + 1} )

Đáp số: ( y’ = 3e^{3x + 1} )

Ví dụ 2: Tính đạo hàm logarit

Đề bài: Tính đạo hàm của ( y = ln(x^2 + 1) )

Lời giải:

Đặt ( u = x^2 + 1 Rightarrow u’ = 2x )

Áp dụng công thức đạo hàm ln u:

( y’ = frac{u’}{u} = frac{2x}{x^2 + 1} )

Đáp số: ( y’ = frac{2x}{x^2 + 1} )

Ví dụ 3: Tính đạo hàm tích

Đề bài: Tính đạo hàm của ( y = x^2 cdot e^x )

Lời giải:

Đặt ( u = x^2 Rightarrow u’ = 2x ) và ( v = e^x Rightarrow v’ = e^x )

Áp dụng công thức đạo hàm tích:

( y’ = u’ cdot v + u cdot v’ = 2x cdot e^x + x^2 cdot e^x )

( y’ = e^x(2x + x^2) = e^x cdot x(x + 2) )

Đáp số: ( y’ = xe^x(x + 2) )

Ví dụ 4: Tính đạo hàm thương

Đề bài: Tính đạo hàm của ( y = frac{ln x}{x} )

Lời giải:

Đặt ( u = ln x Rightarrow u’ = frac{1}{x} ) và ( v = x Rightarrow v’ = 1 )

Áp dụng công thức đạo hàm thương:

( y’ = frac{u’ cdot v - u cdot v’}{v^2} = frac{frac{1}{x} cdot x - ln x cdot 1}{x^2} )

( y’ = frac{1 - ln x}{x^2} )

Đáp số: ( y’ = frac{1 - ln x}{x^2} )

Ví dụ 5: Đạo hàm hàm hợp phức tạp

Đề bài: Tính đạo hàm của ( y = sin^3(2x) )

Lời giải:

Đặt ( t = sin(2x) Rightarrow y = t^3 )

Ta có: ( y’_t = 3t^2 ) và ( t’ = 2cos(2x) )

Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp:

( y’ = 3sin^2(2x) cdot 2cos(2x) = 6sin^2(2x)cos(2x) )

Đáp số: ( y’ = 6sin^2(2x)cos(2x) )

Bài tập tự luyện

Tính đạo hàm các hàm số sau:

1. ( y = e^{-2x} + 3x^2 )
2. ( y = ln(2x + 5) )
3. ( y = x cdot ln x )
4. ( y = frac{e^x}{x + 1} )
5. ( y = cos(3x^2 + 1) )
6. ( y = 2^{x^2} )
7. ( y = log_2(x^2 - 1) )
8. ( y = sqrt{e^x + 1} )

Đáp án

1. ( y’ = -2e^{-2x} + 6x )
2. ( y’ = frac{2}{2x + 5} )
3. ( y’ = ln x + 1 )
4. ( y’ = frac{e^x cdot x}{(x + 1)^2} )
5. ( y’ = -6x cdot sin(3x^2 + 1) )
6. ( y’ = 2x cdot 2^{x^2} cdot ln 2 )
7. ( y’ = frac{2x}{(x^2 - 1) cdot ln 2} )
8. ( y’ = frac{e^x}{2sqrt{e^x + 1}} )

Kết luận

Bảng đạo hàm là tài liệu tra cứu quan trọng giúp bạn nắm vững các công thức đạo hàm đầy đủ từ đạo hàm cơ bản đến đạo hàm e mũ x, đạo hàm ln, đạo hàm logarit. Hãy luyện tập thường xuyên với các ví dụ để thành thạo kỹ năng tính đạo hàm, phục vụ tốt cho các kỳ thi và ứng dụng thực tế.