30/09/2025 06:22

3 phương pháp tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ siêu nhanh

Tải xuống ngay bộ tài liệu lý thuyết về bất phương trình mũ mà các thầy cô VUIHOC đã chọn lọc và biên soạn nhé!

Tải lý thuyết về bất phương trình mũ

1.1. Lý thuyết chung về bất phương trình mũ

Như đã học trong chương trình lớp 12, bất phương trình mũ cơ bản có dạng tổng quát như sau: $a^{x} > b$ (hoặc $a^{x} < b$ ; $a^{x} geq b$ ; $a^{x} leq b$ ), trong đó a, b là hai số đã cho, $a > 0$ , a ≠ 1.

Minh hoạ bằng đồ thị:

Vẽ đồ thị hàm số $y=a^{x}$ và đường thẳng $y=b$ trên cùng một hệ trục toạ độ.

TH1: $a>1$

Nếu $bleq 0$ thì $a^{x}>b$ với mọi x.
Nếu $b>0$ thì $a^{x}>b$ với $x>log_{a}b$

TH1: $0<a<1$

Nếu $bleq 0$ thì $a^{x}>b$ với mọi x.
Nếu $b>0$ thì $a^{x}>b$ với $x<log_{a}b$

Dưới đây là ví dụ trong sách giáo khoa chúng ta đã học về cách tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ cơ bản:

Ví dụ (SGK Toán 12 - Trang 86): Giải bất phương trình: $3^{x^{2}-x} < 9$

Giải: Bất phương trình đã cho có thể viết dưới dạng: $3^{x^{2}-x} < 3^{2}$

Vì cơ số 3 lớn hơn 1, ta có: $x^{2}-x < 2$

Đây là bất phương trình bậc 2 quen thuộc, giải bất phương trình này ta được -1 < x< 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình mũ đã cho là khoảng (-1;2)

1.2. Các dạng bất phương trình mũ cơ bản

Dạng 1 : $a^{x} > b$ (a > 0, a ≠ 1)

$a^{x} > b$ Nghiệm $a > 1$ $0 < a < 1$ $b leq 0$ R R $b > 0$ $(log_{a}b; +infty )$ $(-infty ; log_{a}b )$

Dạng 2 : $a^{x} geq b$ (a > 0, a ≠ 1)

$a^{x} geq b (a > 0, a neq 1 )$ Nghiệm $a > 1$ $0 < a < 1$ $b leq 0$ R R $b > 0$ $[log_{a}b; +infty )$ $(-infty ; log_{a}b]$

Dạng 3 : $a^{x} < b$ (a > 0, a ≠ 1)

$a^{x} < b (a > 0, a neq 1 )$ Nghiệm $a > 1$ $0 < a < 1$ $b leq 0$ R R $b > 0$ $(-infty ; log_{a}b )$ $(log_{a}b; +infty)$

Dạng 4: $a^{x} leq b$ (a > 0, a ≠ 1)

$a^{x} leq b (a > 0, a neq 1 )$ Nghiệm $a > 1$ $0 < a < 1$ $b leq 0$ R R $b > 0$ $(-infty ; log_{a}b ]$ $[log_{a}b; +infty)$

2. Các phương pháp tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ nhanh nhất

2.1. Phương pháp đưa về cùng cơ số

Ta có tổng quát về cách tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số:

OQRG90IzXHn0MdS1BIlsp3px4p7NIww359r_iagVd_gKDBeFQgG-siicAbVK93Hk9JYLAhuNsSx2NRMT6yyESzzgCyWFQAgJ-6Ll_czqfnbNNTxUlClB32p4YMl9ivBTwBL97Geg=s1600

Ngoài ra, chúng ta có thể đưa về cùng cơ số bằng cách biến đổi logarit hoá:

aLAv6iJBR2MRbSLBlMU0lplYGuJ4hDMjw4YYROhYMV-Bk_3IVolX-nFOz9rx-BNGH-hDsEWm0_v9795NG_pfjqiGWh1GTgVA4JbdUnAGWuhlusDPd_tS9Nd8vZsrAq2pxGOwEWL0=s1600

Cùng xem xét một số ví dụ sau để hiểu rõ hơn về cách áp dụng phương pháp đưa về cùng cơ số để tìm nghiệm của bất phương trình mũ:

Ví dụ 1 bài tập tìm nghiệm của bất phương trình mũ

Ví dụ 2 bài tập tìm nghiệm của bất phương trình mũ

2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Học sinh có thể vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết các bài toán tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ dạng phức tạp hơn như mũ logarit, hệ bất phương trình,... để đưa về dạng bất phương trình cơ bản.

Chúng ta xét ví dụ sau để hiểu hơn về cách áp dụng phương pháp này:

Ví dụ 3 bài tập tìm nghiệm của bất phương trình mũ

2.3. Phương pháp đánh giá - sử dụng tính đơn điệu để tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ

Trước khi áp dụng phương pháp này, ta cần nắm vững tính đơn điệu của hàm số:

Xét hàm số $y=a^{x}$ :

Nếu a > 1: $y=a^{x}$ đồng biến trên R.
Nếu 0 < a < 1: $y=a^{x}$ nghịch biến trên R

Ta có thể suy ra được:

Tổng của hai hàm số đồng biến trên D là hàm số đồng biến trên D.
Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.

Cho hàm số f(x) và g(x) nếu:

f(x) đồng biến trên D.
g(x) nghịch biến trên D.

Suy ra: f(x) - g(x) đồng biến trên D.

Ta xét ví dụ minh hoạ sau:

Ví dụ 4 bài tập tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ

3. Bài tập áp dụng

Cùng VUIHOC luyện tập một số các bài tập điển hình của dạng toán tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ nhé! Nhớ lưu tài liệu về để có thể học bất cứ lúc nào!

Tải xuống bộ bài tập tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ

Trên đây là toàn bộ 3 phương pháp tìm tập nghiệm của bất phương trình mũ, hỗ trợ rất nhiều cho các em trong kỳ thi THPT Quốc gia cũng như quá trình học trên trường lớp. Chúc các em học tốt!

Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết

Link nội dung: https://itt.edu.vn/tim-nghiem-cua-bat-phuong-trinh-a8614.html