Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

Cách tính delta, delta phẩy trong phương trình bậc 2 là một kiến thức quan trọng được học trong chương trình môn Toán lớp 9 và cũng là phần nội dung không thể thiếu trong các bài thi, bài kiểm tra Toán 9. Đây cũng là nền tảng cho các bài toán từ cơ bản đến nâng cao của Toán lớp 9. Tài liệu sau đây sẽ trình bày đến các bạn chi tiết công thức tính delta, delta phẩy ứng dụng giải phương trình bậc 2 và các dạng bài tập sử dụng công thức nghiệm, công thức ngiệm thu gọn. Mời các bạn tham khảo.

1. Định nghĩa về Delta Δ trong toán học

2. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:

Công thức tính delta là gì? Khi nào phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt?

4. Tại sao phải tìm ∆?

Ta xét phương trình bậc 2:

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

⇔ (aleft(x^2+frac{b}{a}xright)+c=0) (rút hệ số a làm nhân tử chung)

⇔ (aleft[x^2+2.frac{b}{2a}x+left(frac{b}{2a}right)^2-left(frac{b}{2a}right)^2right]+c=0) (thêm bớt các hệ số để xuất hiện hằng đẳng thức)

(⇔ aleft(x+frac{b}{2a}right)^2 -frac{b^2}{4a}+c=0) (biến đổi hằng đẳng thức)

(Leftrightarrow a left ( x + frac{b}{2a} right )^2= frac{b^2}{4a}-c) (chuyển vế)

(Leftrightarrow a left ( x + frac{b}{2a} right )^2= frac{b^2-4ac}{4a}) (quy đồng mẫu thức)

(Leftrightarrow 4a^2.left ( x + frac{b}{2a} right )^2 = b^2-4ac) (1) (nhân chéo do a ≠ 0)

Vế phải của phương trình (1) chính là (triangle) mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc hai. Vì 4a2 > 0 với mọi a ≠ 0 và (left ( x+frac{b}{2a}right ) ^2 ge 0) nên vế trái luôn dương. Do đó chúng ta mới phải biện luận nghiệm của b2 - 4ac.

Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nhận thấy rằng b2 - 4ac là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt ∆ = b2 - 4ac nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.

5. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Trường hợp nghiệm

Công thức nghiệm:

∆ = b2 - 4ac

Công thức nghiệm thu gọn (áp dụng khi hệ số (b) chẵn)

∆ = b'2 - ac với (b' = frac{b}{2})

Phương trình vô nghiệm

∆ < 0 ∆' < 0

Phương trình có nghiệm kép

∆ = 0. Phương trình có nghiệm kép:

({x_1} = {x_2} = frac{{ - b}}{{2a}})

∆' = 0. Phương trình có nghiệm kép:

({x_1} = {x_2} = frac{{ - b'}}{a})

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

∆ > 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

({x_1} = frac{{ - b + sqrt Delta }}{{2a}})

(x_2=frac{-b-sqrt{Delta}}{2a})

∆' > 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

({x_1} = frac{{ - b' + sqrt {Delta'} }}{{a}})

(x_2=frac{{ - b' -sqrt {Delta'} }}{{a}})

6. Các dạng bài tập sử dụng công thức delta, delta phẩy

6.1. Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn

Nhận xét: đây là dạng toán điển hình trong chuỗi bài tập liên quan đến phương trình bậc hai, sử dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình bậc hai.

Lời giải chi tiết:

a, x2 - 5x + 4 = 0

Ta có: ∆ = b2 - 4ac

= (- 5)2 - 4 . 1 . 4

= 25 - 16 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

(x_1=frac{-b+sqrt{Delta}}{2a}=frac{5+3}{2}=4)

(x_2=frac{-b-sqrt{Delta}}{2a}=frac{5-3}{2}=1)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 4}

b, 6x2 + x + 5 = 0

Ta có: ∆ = b2 - 4ac

= 12 - 4 . 6 . 5

= 1 - 120 = - 119 < 0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c, 16x2 - 40x + 25 = 0

Ta có: ∆' = b'2 - ac

= (- 20)2 - 16 . 25

= 400 - 400 = 0

Phương trình đã cho có nghiệm kép:

(x_1=x_2=frac{-b'}{a}=frac{20}{16}=frac{5}{4})

Vậy tập nghiệm của phương trình là: (S=left { frac{5}{4} right })

d, x2 - 10x + 21 = 0

Ta có: ∆' = b'2 - ac

= (- 5)2 - 1 . 21

= 25 - 21 = 4 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

(x_1=frac{-b'+sqrt{Delta'}}{a}=frac{-5+2}{1}=-3) và (x_2=frac{-b'-sqrt{Delta'}}{a}=frac{-5-2}{1}=-7)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {- 7; - 3}

e, x2 - 2x - 8 = 0

Ta có: ∆' = b'2 - ac

= (- 1)2 - 1 . (- 8)

= 1 + 8 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

(x_1=frac{-b'+sqrt{Delta'}}{a} =frac{1+3}{1}=4) và (x_2=frac{-b'-sqrt{Delta'}}{a}=frac{1-3}{1}=-2)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {- 2; 4}

f, 4x2 - 5x + 1 = 0

Ta có: ∆ = b2 - 4ac

= (- 5)2 - 4 . 4 . 1

= 25 - 16 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và (x_2=frac{1}{4})

Vậy tập nghiệm của phương trình là (S=left { frac{1}{4};1 right })

g, x2 + 3x + 16 = 0

Ta có: ∆ = b2 - 4ac

= 32 - 4 . 1 . 16

= 9 - 64 = - 55 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

h, 2x2 + 2x + 1 = 0

Ta có: ∆' = b'2 - ac

= 12 -2 . 1

= - 1 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

Nhận xét: đây là một dạng toán giúp các bạn học sinh ôn tập được kiến thức về cách tính công thức nghiệm của phương trình bậc hai cũng như ghi nhớ được các trường hợp nghiệm của phương trình bậc hai.

Lời giải chi tiết:

a, x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Suy ra thay x = 1 vào phương trình (1) có:

12 - 6. 1 + m2 - 4m = 0

⇔ m2 - 4m - 5 = 0 (2)

Xét phương trình (2)

Có (Delta'=b'^2-ac=(-2)^2-1.(-5)=9>0)

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt m1 = 5 và m2 = - 1

Vậy với m = 5 hoặc m = - 1 thì x = 1 là nghiệm của phương trình (1)

b, Xét phương trình (1) có:

(Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9)

Để phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi (Delta'=0)

(Leftrightarrow -m^2+4m+9=0) (2)

Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình (2) có (m=2pm sqrt{13})

Vậy với (m=2pmsqrt{13}) thì phương trình (1) có nghiệm kép

c, Xét phương trình (1) có:

(Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (Delta'>0)

(Leftrightarrow -m^2+4m+9>0)

(Leftrightarrow 2-sqrt{13} < m <2+ sqrt{13})

Vậy với (2-sqrt{13} < m <2+ sqrt{13}) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

a) 4x2 + 4x + 1 = 0

Ta có: a = 4, b' = 2, c = 1

Suy ra (Delta' = {2^2} - 4.1 = 0)

Do đó phương trình có nghiệm kép:

({x_1} = {x_2} = dfrac{ - 2}{4} = - dfrac{1 }{ 2}.)

b) 13852x2 - 14x + 1 = 0

Ta có: a = 13852, b' = - 1, c = 1

Suy ra (Delta' = {( - 7)^2} - 13852.1 = - 13803 < 0)

Do đó phương trình vô nghiệm.

Dạng 2: Biện luận nghiệm phương trình bậc hai một ẩn

Ví dụ: Cho phương trình (mx^{2} + 2(m + 1)x + m - 2 = 0) với (m) là tham số. Tìm giá trị tham số m để:

a) Phương trình có nghiệm kép.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

d) Phương trình vô nghiệm.

e) Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có nghiệm kép.

(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a neq 0 Delta' = 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 4m + 1 = 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 m = - frac{1}{4} end{matrix} right. Leftrightarrow m = - frac{1}{4})

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a neq 0 Delta' > 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 4m + 1 > 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 m > - frac{1}{4} end{matrix} right.)

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

(Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} left{ begin{matrix} a = 0 b' neq 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m = 0 m + 1 neq 0 end{matrix} right. Leftrightarrow m = 0 left{ begin{matrix} a neq 0 Delta' = 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 4m + 1 = 0 end{matrix} right. Leftrightarrow m = - frac{1}{4} end{matrix} right.)

d) Phương trình vô nghiệm.

(Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} a = 0;b' = 0;c neq 0 a neq 0;Delta' < 0 end{matrix} right.)

(Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} m = 0;m + 1 = 0;m - 2 neq 0 m neq 0,4m + 1 < 0 end{matrix} right.)

(Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} m = 0;m = - 1;m neq 2 m neq 0,m < frac{1}{4} end{matrix} right. Leftrightarrow m < frac{1}{4})

e) Phương trình vô nghiệm.

(Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} a = b' = c = 0 a = 0;b' neq 0 a neq 0;Delta' geq 0 end{matrix} right. Leftrightarrow leftlbrack begin{matrix} m = m + 1 = m + 2 = 0 m = 0;m + 1 neq 0 m neq 0;4m + 1 geq 0 end{matrix} right. Leftrightarrow m geq - frac{1}{4})

Ví dụ: Cho phương trình (mx^{2} - 2(m - 1)x + m + 1 = 0) với m là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

d) Phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: (left{ begin{matrix} a = m;b = - (m - 1);c = m + 1 Delta' = (m - 1)^{2} - m(m + 1) = - 3m + 1 end{matrix} right.)

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a neq 0 Delta' > 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 - 3m + 1 > 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 m < frac{1}{3} end{matrix} right.)

Vậy (m neq 0;m < frac{1}{3}) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

(Leftrightarrow left{ begin{matrix} a neq 0 Delta' = 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 - 3m + 1 = 0 end{matrix} right. Leftrightarrow left{ begin{matrix} m neq 0 m = frac{1}{3} end{matrix} right. Leftrightarrow m = frac{1}{3})

Vậy (m = frac{1}{3}) thì phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

Với (m = 0) ta có phương trình (2x + 1 = 0 Leftrightarrow x = - frac{1}{2})

Vậy phương trình đã cho có nghiệm.

Với (m neq 0) phương trình vô nghiệm nếu (- 3m + 1 < 0 Leftrightarrow m > frac{1}{3})

Vậy (m > frac{1}{3})thì phương trình vô nghiệm.

d) Phương trình có nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: (Delta = {left( { - 2} right)^2} - 4.1.m = 4 - 4m)

+ Với (Delta < 0 Leftrightarrow 4 - 4m < 0 Leftrightarrow m < 1), phương trình vô nghiệm.

+ Với (Delta = 0 Leftrightarrow 4 - 4m = 0 Leftrightarrow m = 1), phương trình có nghiệm kép:

({x_1} = {x_2} = frac{{ - b}}{{2a}} = frac{2}{2} = 1)

+ Với (Delta > 0 Leftrightarrow 4 - 4m > 0 Leftrightarrow m > 1), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

({x_1} = frac{{ - b + sqrt Delta }}{{2a}} = frac{{2 + sqrt {4 - 4m} }}{2};,,{x_2} = frac{{ - b - sqrt Delta }}{{2a}} = frac{{2 - sqrt {4 - 4m} }}{2})

Hướng dẫn giải

Xét phương trình (2{x^2} - 4x + m = 0) với các hệ số a = 2, b = - 4, c = m

Ta có ({Delta ^prime } = {2^2} - 2m = 4 - 2m)

a) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ({Delta ^prime }>0)

Suy ra 4 - 2 m > 0 hay m < 2

b) Để phương trình có nghiệm kép thì ({Delta ^prime }=0)

Suy ra 4 - 2m = 0 hay m = 2

c) Để phương trình vô nghiệm thì ({Delta ^prime }<0)

Suy ra 4 - 2 m < 0 hay m > 2

d) Để phương trình có nghiệm thì ({Delta ^prime }ge0)

Suy ra 4 - 2m ≥ 0 hay m ≤ 2

Hướng dẫn giải

Xét phương trình mx2 + 6(m - 2)x + 4m - 7 = 0 với các hệ số a = m, b' = 3(m - 2), c = 4m - 7

Ta có: ({Delta ^prime } = {left[ {3left( {m - 2} right)} right]^2} - m.left( {4m - 7} right) = 9{m^2} - 36m + 36 - 4{m^2} + 7m)

= 5m2 - 29m + 36

a) Để phương trình có nghiệm thì:

Xét m = 0. Phương trình trở thành:

0x2 + 6(0 - 2)x + 4 . 0 - 7 = 0

- 12x - 7 = 0

⇒ (x = frac{{ - 7}}{{12}})

Xét m ≠ 0: ({Delta ^prime } ge 0 Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{m le frac{9}{5}}{m ge 4}end{array}} right.)

b) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì.

(left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{Delta ^prime } > 0 Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {m < frac{9}{5}} {m > 4} end{array}} right.} {m ne 0} end{array}} right.)

c) Để phương trình có nghiệm kép thì({Delta ^prime } = 0 Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{m = dfrac{9}{5}}{m = 4}end{array}} right.)

d) Để phương trình vô nghiệm thì ({Delta ^prime } < 0 Leftrightarrow 5{m^2} - 29m + 36 Leftrightarrow frac{9}{5} < m < 4).

Dạng 3: Một số bài toán liên quan đến tính số nghiệm của phương trình bậc hai

Bài toán 1: Chứng minh ít nhất một trong các phương trình bậc hai có nghiệm

Ví dụ: Cho hai phương trình (x^{2} - 2ax - 2b - 1 = 0) và (x^{2} - 2bx + 4a - 6 = 0). Chứng minh rằng trong hai phương trình có ít nhất một phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét biệt thức (Delta') của hai phương trình (left{ begin{matrix} Delta'_{1} = a^{2} + 2b + 1 Delta'_{2} = b^{2} - 4a + 6 end{matrix} right.)

Ta có:

(Delta'_{1} + Delta'_{2} = a^{2} + 2b + 1 + b^{2} - 4a + 6)

(= left( a^{2} - 4a + 4 right) + left( b^{2} + 2b + 1 right) + 2)

(= (a - 2)^{2} + (b + 1)^{2} + 2)

(Rightarrow Delta'_{1} + Delta'_{2} > 0) với mọi (a;b)

Do đó tồn tại ít nhất một (Delta'_{i} geq 0;(i = 1;2))

Vậy tồn tại ít nhất một phương trình có nghiệm.

Bài toán 2: Chứng minh hai phương trình bậc hai có nghiệm chung.

Ví dụ: Cho hai phương trình (x^{2} + ax + b = 0) và (x^{2} + cx + d = 0). Chứng minh nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì ((b - d)^{2} + (a - c)(ad - bc) = 0).

Hướng dẫn giải

Giả sử (x_{0}) là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, ta có hệ sau: (left{ begin{matrix} {x_{0}}^{2} + ax_{0} + b = 0 (1) {x_{0}}^{2} + cx_{0} + d = 0 (2) end{matrix} right.)

Lấy (1) - (2) ta được

(x_{0}(a - c) = - (b - d) Leftrightarrow {x_{0}}^{2}(a - c)^{2} = (b - d)(*))

Lấy ((1)) nhân với ((c)), lấy ((2)) nhân với (a) ta có: (left{ begin{matrix} c{x_{0}}^{2} + acx_{0} + bc = 0 (3) a{x_{0}}^{2} + cax_{0} + da = 0 (4) end{matrix} right.)

Lấy (4) - (3) ta được

((a - c){x_{0}}^{2} + ad - bc = 0)

(Leftrightarrow (a - c){x_{0}}^{2} = - (ad - bc))

(Leftrightarrow (a - c)^{2}{x_{0}}^{2} = - (a - c)(ad - bc)(**))

Từ (*) và (**) suy ra

((b - d)^{2} = - (a - c)(ad - bc))

(Leftrightarrow (b - d)^{2} + (a - c)(ad - bc) = 0(dpcm))

7. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m2 + m +1 = 0

Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm

Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b:

(a + 1)x2 - 2 (a + b)x + (b - 1) = 0

Bài 3: Giả sử phương trình bậc hai x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm dương. Chứng minh rằng a2 + b2 là một hợp số.

Bài 4: Cho phương trình (2m - 1)x2 - 2(m + 4 )x + 5m + 2 = 0 (m #½)

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Bài 5: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 - x2 = 4.

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: 2x2 + (2m - 1)x +m - 1 =0

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.

Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.

Xác định m để phương trình có hai nghiệm phan biệt x1, x2 thỏa mãn - 1 < x1 < x2 < 1

Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m.

Bài 7: Cho f(x) = x2 - 2(m + 2)x+ 6m +1

Chứng minh rằng pt f(x) = 0 luôn nghiệm với mọi m.

Đặt x = t + 2; tình f(x) theo t. Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2.

Bài 8: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx +c thỏa mãn điều kiện|f(x)| ≤ 1 với mọi x ∈ { - 1; 1}. Tìm GTNN của biểu thức A= 4a2 + 3b2.

Bài 9: Cho phương trình (x2)2 - 13x2 + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình:

a. Có bốn nghiệm phân biệt.

b. Có ba nghiệm phân biệt.

c. Có hai nghiệm phân biệt.

d. Có một nghiệm

e. Vô nghiệm.

-