Có cách nào để tìm công thức tính thể tích hình nón mà không cần dùng đến phép tính vi tích phân không?

Đầu tiên, có một công thức tổng quát cho thể tích của hình nón (sử dụng phép tính): V = (1/3)Ah trong đó A là diện tích đáy và h là chiều cao của hình nón. Vì vậy, với công thức đó, bạn không cần phải "phát minh lại bánh xe" mỗi lần bạn thấy một hình nón có đáy khác loại và muốn biết thể tích của nó.

Cảm giác của bạn rằng việc sử dụng phép tính hơi quá mạnh mẽ là dễ hiểu. Hãy thử mô tả một cách tiếp cận đơn giản hơn. Hai đa diện trong R3 được gọi là tương đương cắt nếu một trong hai đa diện đó có thể được chia thành một số hữu hạn các phần bằng cách cắt nó bằng các mặt phẳng, và sau đó các phần thu được có thể được sắp xếp lại để tạo thành đa diện thứ hai. Hai đa diện tương đương cắt có cùng thể tích. Có một định nghĩa tương tự về các đa giác tương đương cắt trong mặt phẳng, sử dụng một số hữu hạn các phép chia bằng cách cắt bằng các đường thẳng và sau đó sắp xếp lại các phần, vì vậy các đa giác tương đương cắt có diện tích bằng nhau. Và bối cảnh của mặt phẳng là một lời giải thích tự nhiên hơn cho thuật ngữ "tương đương cắt".

Trong mặt phẳng, có một kết quả ngược lại: tất cả các cặp đa giác trong R2 có diện tích bằng nhau đều tương đương cắt. Điều này đã được biết đến từ đầu những năm 1800. Nhưng trong R3, kết quả ngược lại là sai: có những cặp đa diện có thể tích bằng nhau nhưng không tương đương cắt! Cụ thể, một tứ diện đều (một hình chóp có các mặt là tam giác đều) và hình lập phương có cùng thể tích với tứ diện đó không tương đương cắt. Điều này được phát hiện vào năm 1900.

Câu hỏi chung trong R3 về các đa diện tương đương cắt có cùng thể tích được gọi là Bài toán thứ ba của Hilbert, và câu trả lời phủ định cho nó đã được Dehn tìm ra chưa đầy một năm sau khi Hilbert đưa ra. Trên thực tế, vấn đề này đã được đặt ra và giải quyết với câu trả lời phủ định 18 năm trước khi Hilbert nêu ra nó: xem đoạn thứ 3 của trang Wikipedia về Bài toán thứ ba của Hilbert.

Mặc dù câu trả lời phủ định này không chứng minh về mặt logic rằng phép tính phải được sử dụng để tính thể tích của hình nón, nhưng nó cho thấy rằng ý tưởng đơn giản về "phân tích hữu hạn bằng các vết cắt mặt phẳng và sắp xếp lại" không phải là một phương pháp hợp lệ để tính tất cả các thể tích của đa diện. Vì vậy, thực tế là phép tính (dựa trên vô số lát cắt thông qua một quá trình giới hạn) đôi khi được sử dụng để tính thể tích của đa diện không còn có vẻ "hơi quá mạnh mẽ".