Công thức tính đường phân giác: Độ dài, chân phân giác chi tiết

Công thức tính đường phân giác là kiến thức quan trọng trong hình học tam giác. Đường phân giác trong tam giác có nhiều tính chất đặc biệt và ứng dụng rộng rãi trong giải toán. Bài viết này trình bày đầy đủ công thức tính độ dài đường phân giác, tính chất phân giác trong, cách xác định chân đường phân giác cùng các bài tập có lời giải chi tiết.

1. Đường phân giác trong tam giác là gì?

Đường phân giác trong tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện, chia góc tại đỉnh đó thành hai góc bằng nhau.

1.1. Định nghĩa đường phân giác trong

Phân giác trong của một góc trong tam giác là tia phân giác của góc đó, xuất phát từ đỉnh và cắt cạnh đối diện.

Trong tam giác ABC:

• Đường phân giác trong từ đỉnh A là đoạn AD, với D nằm trên cạnh BC
• AD chia góc A thành hai góc bằng nhau: (widehat{BAD} = widehat{CAD} = frac{widehat{A}}{2})
• Điểm D gọi là chân đường phân giác từ đỉnh A

1.2. Định nghĩa đường phân giác ngoài

Đường phân giác ngoài của một góc trong tam giác là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh đó.

1.3. Các yếu tố liên quan

Yếu tố Ký hiệu Ý nghĩa Độ dài đường phân giác (l_a, l_b, l_c) Độ dài đường phân giác từ đỉnh A, B, C Chân đường phân giác D, E, F Giao điểm của phân giác với cạnh đối diện Tâm đường tròn nội tiếp I Giao điểm của 3 đường phân giác trong

2. Tính chất đường phân giác trong tam giác

Trước khi tìm hiểu công thức đường phân giác, cần nắm vững các tính chất quan trọng sau.

2.1. Tính chất về tỉ lệ (Định lý phân giác)

Định lý: Trong tam giác ABC, đường phân giác trong AD (D thuộc BC) chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.

[ frac{DB}{DC} = frac{AB}{AC} = frac{c}{b} ]

Trong đó: (AB = c), (AC = b), (BC = a)

2.2. Công thức tính chân đường phân giác

Từ định lý phân giác, ta tính được độ dài chân đường phân giác:

[ DB = frac{ac}{b + c} quad ; quad DC = frac{ab}{b + c} ]

2.3. Tính chất ba đường phân giác

• Ba đường phân giác trong của tam giác đồng quy tại một điểm gọi là tâm đường tròn nội tiếp (I)
• Tâm I cách đều ba cạnh của tam giác
• Khoảng cách từ I đến mỗi cạnh bằng bán kính đường tròn nội tiếp r

2.4. Bảng tổng hợp tính chất

Tính chất Nội dung Định lý phân giác (frac{DB}{DC} = frac{AB}{AC}) Ba phân giác trong đồng quy Tại tâm nội tiếp I Phân giác trong ⊥ phân giác ngoài Tại cùng một đỉnh Góc tạo bởi hai phân giác (widehat{BIC} = 90° + frac{widehat{A}}{2})

3. Công thức tính độ dài đường phân giác

Dưới đây là các công thức tính độ dài đường phân giác quan trọng nhất.

3.1. Công thức theo hai cạnh kề và góc xen giữa

Cho tam giác ABC với đường phân giác trong AD từ đỉnh A. Công thức tính đường phân giác:

[ l_a = frac{2bc cdot cosfrac{A}{2}}{b + c} ]

Trong đó:

• (l_a): độ dài đường phân giác từ đỉnh A
• (b = AC), (c = AB): hai cạnh kề góc A
• (A): góc tại đỉnh A

3.2. Công thức theo ba cạnh (Stewart)

Công thức đường phân giác khi biết độ dài ba cạnh:

[ l_a = frac{2}{b + c}sqrt{bcp(p-a)} ]

Hoặc viết dưới dạng khác:

[ l_a = frac{1}{b + c}sqrt{2b^2c^2 + 2b^2a^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2bc - 2b^2ac - 2c^2ab + 2a^2(b+c)^2}/2 ]

Công thức đơn giản hơn:

[ l_a = frac{2}{b+c}sqrt{bc cdot p(p-a)} ]

Trong đó (p = frac{a + b + c}{2}) là nửa chu vi tam giác.

3.3. Công thức theo cạnh và diện tích

Công thức tính phân giác sử dụng diện tích:

[ l_a = frac{2S}{(b + c) cdot sinfrac{A}{2}} ]

Trong đó S là diện tích tam giác ABC.

3.4. Công thức rút gọn thường dùng

Công thức tính độ dài đường phân giác hay dùng nhất:

[ l_a^2 = bcleft[1 - left(frac{a}{b+c}right)^2right] = bc - DB cdot DC ]

Hoặc:

[ l_a^2 = bc - DB cdot DC = frac{bc[(b+c)^2 - a^2]}{(b+c)^2} ]

3.5. Bảng tổng hợp công thức tính đường phân giác

Công thức Điều kiện áp dụng (l_a = frac{2bc cosfrac{A}{2}}{b + c}) Biết 2 cạnh kề và góc xen giữa (l_a = frac{2sqrt{bcp(p-a)}}{b + c}) Biết 3 cạnh tam giác (l_a^2 = bc - DB cdot DC) Biết 2 cạnh kề và 2 đoạn chân phân giác (l_a = frac{2S}{(b+c)sinfrac{A}{2}}) Biết diện tích và các yếu tố góc

4. Công thức tính chân đường phân giác

Chân đường phân giác là giao điểm của đường phân giác với cạnh đối diện. Việc xác định vị trí chân phân giác rất quan trọng trong giải toán.

4.1. Tọa độ chân đường phân giác trong mặt phẳng Oxy

Cho tam giác ABC với A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃). Chân đường phân giác trong từ A là điểm D trên BC:

[ D = frac{b cdot B + c cdot C}{b + c} = left( frac{bx_2 + cx_3}{b + c}, frac{by_2 + cy_3}{b + c} right) ]

Trong đó: (b = AC), (c = AB)

4.2. Độ dài các đoạn chân phân giác

Với D là chân đường phân giác từ A trên cạnh BC:

Đoạn Công thức BD (BD = frac{a cdot c}{b + c}) DC (DC = frac{a cdot b}{b + c}) Kiểm tra (BD + DC = a)

4.3. Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp

Tâm I của đường tròn nội tiếp (giao điểm 3 đường phân giác trong):

[ I = frac{a cdot A + b cdot B + c cdot C}{a + b + c} ]

Hay:

[ I = left( frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c}, frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a + b + c} right) ]

5. Cách tính độ dài đường phân giác - Hướng dẫn chi tiết

Dưới đây là cách tính độ dài đường phân giác theo từng trường hợp cụ thể.

5.1. Trường hợp 1: Biết hai cạnh kề và góc xen giữa

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp công thức:

[ l_a = frac{2bc cosfrac{A}{2}}{b + c} ]

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Xác định hai cạnh kề b, c và góc xen giữa A
2. Bước 2: Tính (cosfrac{A}{2})
3. Bước 3: Thay vào công thức và tính kết quả

5.2. Trường hợp 2: Biết độ dài ba cạnh

Phương pháp: Áp dụng công thức Stewart:

[ l_a = frac{2sqrt{bcp(p-a)}}{b + c} ]

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Tính nửa chu vi (p = frac{a + b + c}{2})
2. Bước 2: Tính (p - a)
3. Bước 3: Tính (bcp(p-a))
4. Bước 4: Thay vào công thức

5.3. Trường hợp 3: Biết tọa độ ba đỉnh

Phương pháp:

1. Bước 1: Tính độ dài các cạnh từ tọa độ
2. Bước 2: Tìm tọa độ chân đường phân giác
3. Bước 3: Tính khoảng cách từ đỉnh đến chân phân giác

5.4. Mẹo giải nhanh

• Nếu tam giác cân (b = c), đường phân giác từ đỉnh cân cũng là đường cao và trung tuyến
• Trong tam giác đều, (l_a = l_b = l_c = frac{asqrt{3}}{2})
• Sử dụng máy tính để tính các giá trị lượng giác

6. Các trường hợp đặc biệt

6.1. Đường phân giác trong tam giác vuông

Trong tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác từ A:

[ l_a = frac{bcsqrt{2}}{b + c} ]

Vì (cos 45° = frac{sqrt{2}}{2})

6.2. Đường phân giác trong tam giác đều

Trong tam giác đều cạnh a:

[ l_a = l_b = l_c = frac{asqrt{3}}{2} ]

6.3. Đường phân giác trong tam giác cân

Trong tam giác ABC cân tại A (AB = AC = b):

• Đường phân giác từ A cũng là đường cao, trung tuyến, trung trực
• (l_a = bcosfrac{A}{2} = sqrt{b^2 - frac{a^2}{4}})

6.4. Bảng công thức đặc biệt

Loại tam giác Công thức đường phân giác Tam giác đều cạnh a (l = frac{asqrt{3}}{2}) Tam giác vuông cân (góc vuông tại A) (l_a = frac{asqrt{2}}{2}) (a là cạnh huyền) Tam giác cân tại A (l_a = bcosfrac{A}{2})

7. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính độ dài đường phân giác biết 2 cạnh và góc

Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8, (widehat{A} = 60°). Tính độ dài đường phân giác AD từ đỉnh A.

Lời giải:

Ta có: b = AC = 8, c = AB = 6, A = 60°

Áp dụng công thức tính đường phân giác:

[ l_a = frac{2bc cosfrac{A}{2}}{b + c} = frac{2 cdot 8 cdot 6 cdot cos 30°}{8 + 6} ]

[ = frac{96 cdot frac{sqrt{3}}{2}}{14} = frac{48sqrt{3}}{14} = frac{24sqrt{3}}{7} ]

Vậy (l_a = frac{24sqrt{3}}{7} approx 5,94)

Bài tập 2: Tính đường phân giác biết 3 cạnh

Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = 8. Tính độ dài đường phân giác từ đỉnh A.

Lời giải:

Ta có: a = BC = 7, b = CA = 8, c = AB = 5

Nửa chu vi: (p = frac{7 + 8 + 5}{2} = 10)

(p - a = 10 - 7 = 3)

Áp dụng công thức đường phân giác:

[ l_a = frac{2sqrt{bcp(p-a)}}{b + c} = frac{2sqrt{8 cdot 5 cdot 10 cdot 3}}{8 + 5} ]

[ = frac{2sqrt{1200}}{13} = frac{2 cdot 20sqrt{3}}{13} = frac{40sqrt{3}}{13} ]

Vậy (l_a = frac{40sqrt{3}}{13} approx 5,33)

Bài tập 3: Tính chân đường phân giác

Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 9, BC = 12. Tính độ dài BD và DC, với D là chân đường phân giác từ A.

Lời giải:

Ta có: a = BC = 12, b = AC = 9, c = AB = 6

Áp dụng công thức chân đường phân giác:

[ BD = frac{a cdot c}{b + c} = frac{12 cdot 6}{9 + 6} = frac{72}{15} = frac{24}{5} = 4,8 ]

[ DC = frac{a cdot b}{b + c} = frac{12 cdot 9}{9 + 6} = frac{108}{15} = frac{36}{5} = 7,2 ]

Kiểm tra: BD + DC = 4,8 + 7,2 = 12 = BC ✓

Vậy BD = 4,8; DC = 7,2

Bài tập 4: Bài toán tọa độ

Đề bài: Cho tam giác ABC với A(0, 0), B(6, 0), C(3, 4). Tìm tọa độ chân đường phân giác từ A và tính độ dài đường phân giác AD.

Lời giải:

Bước 1: Tính độ dài các cạnh

• (AB = c = sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2} = 6)
• (AC = b = sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = 5)
• (BC = a = sqrt{(3-6)^2 + (4-0)^2} = 5)

Bước 2: Tìm tọa độ chân phân giác D

[ D = left( frac{bx_B + cx_C}{b + c}, frac{by_B + cy_C}{b + c} right) ]

[ D = left( frac{5 cdot 6 + 6 cdot 3}{5 + 6}, frac{5 cdot 0 + 6 cdot 4}{5 + 6} right) = left( frac{48}{11}, frac{24}{11} right) ]

Bước 3: Tính độ dài AD

[ AD = sqrt{left(frac{48}{11}right)^2 + left(frac{24}{11}right)^2} = sqrt{frac{2304 + 576}{121}} = sqrt{frac{2880}{121}} = frac{24sqrt{5}}{11} ]

Vậy D(left( frac{48}{11}, frac{24}{11} right)) và (AD = frac{24sqrt{5}}{11} approx 4,88)

Bài tập 5: Tam giác đặc biệt

Đề bài: Cho tam giác đều ABC cạnh a = 6. Tính độ dài đường phân giác từ mỗi đỉnh.

Lời giải:

Trong tam giác đều, đường phân giác cũng là đường cao và trung tuyến.

Áp dụng công thức:

[ l = frac{asqrt{3}}{2} = frac{6sqrt{3}}{2} = 3sqrt{3} ]

Vậy (l_a = l_b = l_c = 3sqrt{3} approx 5,20)

Bài tập 6: Bài toán ngược

Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = 8, AC = 6 và đường phân giác từ A có độ dài (l_a = 4sqrt{2}). Tính góc A.

Lời giải:

Ta có: b = 6, c = 8, (l_a = 4sqrt{2})

Từ công thức tính đường phân giác:

[ l_a = frac{2bc cosfrac{A}{2}}{b + c} ]

[ 4sqrt{2} = frac{2 cdot 6 cdot 8 cdot cosfrac{A}{2}}{6 + 8} = frac{96cosfrac{A}{2}}{14} = frac{48cosfrac{A}{2}}{7} ]

[ cosfrac{A}{2} = frac{4sqrt{2} cdot 7}{48} = frac{28sqrt{2}}{48} = frac{7sqrt{2}}{12} ]

[ frac{A}{2} = arccosfrac{7sqrt{2}}{12} approx 34,45° ]

[ A approx 68,9° ]

Vậy góc A ≈ 68,9° hay A ≈ 69°

Bài tập 7: Bài tập tự luyện

Giải các bài tập sau:

1. Tam giác ABC có AB = 10, AC = 15, (widehat{A} = 60°). Tính độ dài đường phân giác từ A.
2. Tam giác ABC có ba cạnh a = 13, b = 14, c = 15. Tính độ dài ba đường phân giác.
3. Tam giác vuông ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4. Tính độ dài đường phân giác từ A.
4. Cho A(1, 2), B(5, 2), C(3, 6). Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
5. Tam giác ABC có AB = 12, BC = 18. Đường phân giác từ B chia AC thành hai đoạn có tỉ lệ 2:3. Tính AC.

Đáp số:

1. (l_a = 6sqrt{3} approx 10,39)
2. (l_a = frac{40sqrt{6}}{9} approx 10,89); (l_b = frac{4sqrt{390}}{7} approx 11,28); (l_c = 4sqrt{14} approx 14,97)
3. (l_a = frac{12sqrt{2}}{7} approx 2,42)
4. (Ileft(frac{17}{5}, frac{17}{5}right)) hay (I(3,4; 3,4))
5. AC = 15

8. Kết luận

Công thức tính đường phân giác là kiến thức quan trọng trong hình học tam giác. Qua bài viết này, bạn đã nắm được:

• Định nghĩa và tính chất đường phân giác trong tam giác
• Công thức tính độ dài đường phân giác: (l_a = frac{2bccosfrac{A}{2}}{b+c}) và (l_a = frac{2sqrt{bcp(p-a)}}{b+c})
• Công thức tính chân đường phân giác: (BD = frac{ac}{b+c}), (DC = frac{ab}{b+c})
• Cách tính độ dài đường phân giác trong các trường hợp khác nhau

Hãy ghi nhớ công thức đường phân giác và luyện tập thường xuyên để thành thạo tính độ dài đường phân giác trong các bài toán hình học. Chúc bạn học tốt!