Sự khác biệt giữa các vị trí hướng đến giảng dạy và các vị trí hướng đến nghiên cứu trong toán học?

Tao sắp bắt đầu học cao học toán rồi, và hiện tại tao đang hy vọng theo đuổi sự nghiệp trong giới học thuật. Tao thường nghe nói rằng nếu muốn tìm một vị trí trong học viện, thì việc tìm được vị trí tập trung vào giảng dạy dễ hơn nhiều so với vị trí tập trung vào nghiên cứu. Nhưng tao đang tự hỏi: riêng về toán học, liệu có thực sự có nhiều khác biệt giữa hai loại vị trí này không?

Lý do tao hỏi là vì nghiên cứu toán học nói chung không cần nhiều tiền hoặc tài nguyên. Nếu bạn đã được tuyển dụng làm giảng viên cho một khoa toán, thì điều gì ngăn cản bạn tiến hành nghiên cứu? Tất cả những gì bạn cần làm là tìm ra cách chứng minh các định lý và viết bài báo với các chứng minh đó, vậy thì điều gì ngăn cản bạn làm điều đó bên cạnh việc dạy học?

Tao có thể hiểu tại sao các vị trí nghiên cứu lại khó kiếm hơn ở các lĩnh vực khoa học khác vì bạn thực sự cần thêm tài nguyên để tiến hành nghiên cứu: máy gia tốc hạt, đồng vị hiếm, thiết bị phòng thí nghiệm, v.v. Nhưng trong toán học, tất cả những gì bạn cần là giấy và bút. Vậy nên liệu có thực sự có nhiều khác biệt giữa việc làm giảng viên và giáo sư nghiên cứu, ngoài lương/an ninh việc làm?

Và một câu hỏi liên quan: liệu có nhiều khác biệt giữa việc làm giáo sư tại một trường đại học nghệ thuật tự do nhỏ và làm giáo sư tại một trường đại học nghiên cứu lớn không? Một lần nữa, một số người mà tao đã nói chuyện xem các vị trí giáo sư tại các trường nhỏ là giải thưởng an ủi vì trọng tâm ở những nơi đó là giảng dạy hơn là nghiên cứu, nhưng tao nghĩ bạn có thể tiếp tục làm nghiên cứu được tài trợ ở hầu hết mọi nơi. Vậy liệu nó có thực sự khác biệt nhiều không?