Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Tâm đối xứng xuất hiện nhiều trong bài kiểm tra, bài thi của các bạn học sinh. Đây không phải là phần quá khó nhưng nó sẽ là kiến thức nền để các bạn giải những câu khó hơn. Vì vậy các bạn cần phải tìm hiểu thật kỹ và nắm chắc dạng bài này để đạt điểm tối đa nhé. Cùng CMath tìm hiểu tâm đối xứng của đồ thị hàm số ngay sau đây.

Giải thích tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gì?

Cho một hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Ta ví dụ có một điểm I thoả mãn tính chất: một điểm A bất kì thuộc đồ thị (C), nếu ta lấy đối xứng qua điểm I thì ta sẽ được điểm A’ cũng thuộc đồ thị (C), khi đó ta nói điểm I là tâm đối xứng của đồ thị y = f(x).

Tính chất:

• Cho hàm số y = f(x). Khi đó nếu tâm đối xứng của hàm số là gốc toạ độ O(0;0) thì f(x) là hàm số lẻ: f(-x) = -f(x)
• Ví dụ hàm số y = f(x) nhận điểm I làm tâm đối xứng và có toạ độ là I(x0;y0) thì ta sẽ được tính chất là: f(x+x0)+f(-x+x0)=2y0 với mọi xR.

Chú ý:

• Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có thể nằm trên đồ thị hoặc nằm ngoài đồ thị hàm số. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên R thì tâm đối xứng của hàm số đó sẽ là một điểm thuộc đồ thị hàm số y = f(x).
• Chỉ có một vài hàm số mới có tâm đối xứng, không phải tất cả hàm số đều có tâm đối xứng.

Cách tìm tâm đối xứng đối với đồ thị hàm số bậc 3 và đồ thị hàm số phân tuyến tính.

• Cách tìm tâm đối xứng đối với đồ thị hàm số bậc 3:

• Hàm số bậc 3 y=ax3+bx2+ca+d (a=0), có đồ thị (C).
• Tâm đối xứng của đồ thị (C) lúc đó là điểm I(-b3a;y(-b3a)). Điểm I cũng đồng thời là điểm đến của đồ thị (C).

• Cách tìm tâm đối xứng đối với đồ thị hàm số phân tuyến tính:

• Hàm số phân tuyến tính y=ax+bcx+d (ad - bc 0, c 0) và có đồ thị hàm số là (C).
• Tâm đối xứng của đồ thị (C) lúc đó là điểm I(-dc;ac). Điểm I cũng đồng thời là giao điểm của 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số (C).

Bài tập vận dụng

Sau khi đã tìm hiểu về lý thuyết tâm đối xứng của đồ thị hàm số thì CMath sẽ gửi đến các bạn một số bài tập vận dụng để các bạn có thể áp dụng kiến thức đã học và ghi nhớ lâu hơn.

Bài tập 1: Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số sau đây: y=2xx+1

Hướng dẫn giải

Ví dụ rằng hàm số trên nhận điểm I(a;b) làm tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Khi đó nếu ta tịnh tiến trục tọa độ theo vectơ OI thì ta sẽ được: x=X+ay=Y+b.

Vậy hàm số đã cho tương ứng với: Y+b=2(X+a)X+a+1Y=2-b-2X+a+1

Để hàm số y=2xx+1 là hàm số lẻ thì 2-b=0a+1=0a=-1b=2

Vậy ta suy ra điểm I(-1;2) gọi là tâm đối xứng của y=2xx+1

Tổng kết

• Hàm số y=ax3+bx2+ca+d với a0 có tâm đối xứng là (-b3a;y(-b3a)). Điểm này cũng chính là điểm uốn của đồ thị bậc 3.

• Hàm số y=ax+bcx+d với c0; adbc có tâm đối xứng là (-dc;ac)
• Hàm số y=ax2+bx+cdx+e với a,d0 có tâm đối xứng là điểm (-ed;y(-ed))

Bài tập 2: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số y=x3+3x2-9x+1

Hướng dẫn giải

y ‘= 3 x 2 + 6x-9 y “= 6x + 6 y” = 0 x = -1

Ta thay x=-1 vào hàm số và được y = 12

Vậy ta suy ra điểm I(-1;12) gọi là tâm đối xứng của y=x3+3x2-9x+1

Bài tập 3: Cho hàm số sau đây: y=x3-3mx2-mx+2 có đồ thị (C). Giá trị của điểm M nằm trong khoảng nào để tâm đối xứng của đồ thị hàm số (C) nằm trên đường thẳng y = x + 2?

1. (- 1 2 ; 1 2 )
2. ( 1 2 ; 3 2 )
3. (1; 2)
4. ( 3 2 ; 5)

Hướng dẫn giải

Gọi tâm đối xứng của đồ thị hàm số (C) là điểm I(m;-2m3-m2+2).

Để điểm I nằm trên y = x + 2 thì -2m3-m2+2=m+2-2m3-m2-m=0m=0

Vậy đáp án là A(-12;12).

>>> Tham khảo thêm:

Tất tần tật kiến thức về định lý hàm số cos và cách vận dụng trong tam giác

Lý thuyết đầy đủ nhất về hàm số bậc nhất

Cách tìm tập xác định của hàm số chi tiết, dễ hiểu

Tạm kết

Bài viết trên đây đã giúp các bạn có cái nhìn tổng quan và nắm được lý thuyết về tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Hy vọng các thông tin trên là hữu ích và giúp được các bạn trong những kỳ kiểm tra sắp tới. Nếu có bất kỳ thắc mắc hoặc vấn đề cần giải đáp hãy liên hệ trực tiếp đến CMath để nhận được hỗ trợ và ưu đãi khóa học sớm nhất nhé.