Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt: Bí quyết và các ví dụ minh họa

Tìm giá trị m để phương trình bậc 3 có ba nghiệm phân biệt

Tổng quát cách giải bài toán tìm ( m ) để phương trình bậc ba có 3 nghiệm phân biệt

1. Giới thiệu

Xét phương trình bậc ba tổng quát:

[ P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ]

Trong đó, ( a, b, c, d ) là các hằng số. Bài toán yêu cầu tìm giá trị ( m ) (hoặc một tham số bất kỳ) để phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt. Phương trình bậc ba luôn có ít nhất một nghiệm thực. Để có 3 nghiệm phân biệt, cần thoả mãn các điều kiện liên quan đến đạo hàm và dấu của giá trị hàm tại các điểm cực trị.

2. Phương pháp giải

Bước 1: Xét đạo hàm và tìm điều kiện có 2 điểm cực trị

Để tìm các điểm cực trị của hàm bậc ba, ta tính đạo hàm của hàm số:

[ P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c ]

Phương trình cực trị được cho bởi:

[ P'(x) = 0 ]

Giải phương trình bậc hai này để tìm các điểm cực trị. Phương trình bậc hai ( P'(x) = 0 ) có hai nghiệm phân biệt khi:

[ Delta = (2b)^2 - 4 cdot 3a cdot c = 4b^2 - 12ac > 0 ]

Điều này yêu cầu ( Delta > 0 ), tức là:

[ b^2 - 3ac > 0 ]

Nếu phương trình ( P'(x) = 0 ) có 2 nghiệm phân biệt ( x_1 ) và ( x_2 ), thì phương trình bậc ba sẽ có 3 nghiệm phân biệt nếu giá trị của hàm số tại các điểm cực trị có dấu trái ngược.

Bước 2: Xét dấu của giá trị hàm tại các điểm cực trị

Giả sử 2 nghiệm của phương trình ( P'(x) = 0 ) là ( x_1 ) và ( x_2 ), giá trị của hàm số ( P(x) ) tại các điểm cực trị này lần lượt là:

[ P(x_1) = ax_1^3 + bx_1^2 + cx_1 + d ]

và

[ P(x_2) = ax_2^3 + bx_2^2 + cx_2 + d ]

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, hai giá trị ( P(x_1) ) và ( P(x_2) ) phải có dấu trái ngược, tức là:

[ P(x_1) cdot P(x_2) < 0 ]

Bước 3: Tìm khoảng giá trị của ( m )

Dựa vào các biểu thức của phương trình, điều kiện để ( P(x_1) cdot P(x_2) < 0 ) sẽ đưa ra những khoảng giá trị cụ thể cho tham số ( m ). Thông thường, ta sẽ thay ( m ) vào phương trình, tính các giá trị cụ thể tại các điểm cực trị, và giải bất phương trình để tìm các giá trị của ( m ).

Bài tập 1:

Tìm giá trị của ( m ) để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

[ x^3 - 2mx^2 + mx + m - 1 = 0 ]

Lời giải:

Bước 1: Xét phương trình đạo hàm và tìm các điểm cực trị

Phương trình ban đầu là:

[ x^3 - 2mx^2 + mx + m - 1 = 0 ]

Đạo hàm của hàm số:

[ f'(x) = 3x^2 - 4mx + m ]

Giải phương trình ( f'(x) = 0 ) để tìm các điểm cực trị:

[ 3x^2 - 4mx + m = 0 ] [ x = frac{4m pm sqrt{16m^2 - 12m}}{6} ]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:

[ Delta = 16m^2 - 12m > 0 ]

Giải bất phương trình này:

[ 4m^2 - 3m > 0 ] [ m < 0 quad text{hoặc} quad m > frac{3}{4} ]

Bước 2: Tìm giá trị của hàm số tại các điểm cực trị

Giả sử 2 nghiệm của phương trình đạo hàm là ( x_1 ) và ( x_2 ), ta có:

[ x_1 = frac{4m - sqrt{16m^2 - 12m}}{6}, quad x_2 = frac{4m + sqrt{16m^2 - 12m}}{6} ]

Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị là:

[ f(x_1) = (x_1)^3 - 2m(x_1)^2 + mx_1 + m - 1 ] và [ f(x_2) = (x_2)^3 - 2m(x_2)^2 + mx_2 + m - 1 ]

Điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt là:

[ f(x_1) cdot f(x_2) < 0 ]

Bước 3: Kết luận

Vậy, để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, giá trị của ( m ) phải thỏa mãn:

[ m < 0 quad text{hoặc} quad m > frac{3}{4} ]

Và thêm điều kiện:

[ f(x_1) cdot f(x_2) < 0 ]

Bài tập 2:

Tìm ( m ) để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

[ x^3 - 12x + m - 2 = 0 ]

Lời giải:

Để phương trình [ x^3 - 12x + m - 2 = 0 ] có 3 nghiệm phân biệt, ta cần xét các điều kiện về nghiệm của phương trình bậc ba này.

Đạo hàm bậc nhất của phương trình là:

[ f'(x) = 3x^2 - 12 ]

Ta giải phương trình ( f'(x) = 0 ) để tìm các điểm cực trị:

[ 3x^2 - 12 = 0 ] [ x^2 = 4 ] [ x = 2 quad text{hoặc} quad x = -2 ]

Tính giá trị của hàm tại các điểm cực trị:

Tại ( x = 2 ):

[ f(2) = 2^3 - 12 cdot 2 + m - 2 = 8 - 24 + m - 2 = m - 18 ]

Tại ( x = -2 ):

[ f(-2) = (-2)^3 - 12 cdot (-2) + m - 2 = -8 + 24 + m - 2 = m + 14 ]

Điều kiện để phương trình có 3 nghiệm phân biệt là:

[ f(2) cdot f(-2) < 0 ] Tức là: [ (m - 18) cdot (m + 14) < 0 ]

Giải bất phương trình:

[ m^2 - 4m - 252 < 0 ]

Phương trình này có nghiệm:

[ m_1 = 18 quad text{và} quad m_2 = -14 ]

Vậy, để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, ( m ) phải thỏa mãn:

[ -14 < m < 18 ]

Bài tập 3

Xác định giá trị của ( m ) sao cho phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

[ 2x^3 + 3x^2 - 12x + 2m - 1 = 0 ]

Giải

Bước 1: Tính đạo hàm và tìm điều kiện có 2 điểm cực trị

Tính đạo hàm của hàm số:

[ P'(x) = 6x^2 + 6x - 12 ]

Giải phương trình đạo hàm bằng 0:

[ 6x^2 + 6x - 12 = 0 ]

Rút gọn phương trình:

[ x^2 + x - 2 = 0 ]

Giải phương trình này bằng cách phân tích:

[ (x - 1)(x + 2) = 0 ]

Ta có 2 nghiệm:

[ x_1 = 1, quad x_2 = -2 ]

Bước 2: Tính giá trị hàm tại các điểm cực trị

Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị:

[ P(x_1) = P(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 2m - 1 = 2 + 3 - 12 + 2m - 1 = 2m - 8 ]

[ P(x_2) = P(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) + 2m - 1 = 2(-8) + 3(4) + 24 + 2m - 1 = -16 + 12 + 24 + 2m - 1 = 2m + 19 ]

Bước 3: Điều kiện để có 3 nghiệm phân biệt

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, ta cần:

[ P(x_1) cdot P(x_2) < 0 ]

Thay vào biểu thức:

[ (2m - 8)(2m + 19) < 0 ]

Bước 4: Giải bất phương trình

Tìm nghiệm của phương trình:

Tìm nghiệm của phương trình:

[ 2m - 8 = 0 quad Rightarrow quad m = 4 ]

[ 2m + 19 = 0 quad Rightarrow quad m = -frac{19}{2} ]

Xét dấu:

Chia số trục ( m ) thành các khoảng: ( (-infty, -frac{19}{2}), (-frac{19}{2}, 4), (4, +infty) )

• Khoảng ( (-infty, -frac{19}{2}) ): Chọn ( m = -10 ) → ( (2(-10) - 8)(2(-10) + 19) = (-28)(-1) > 0 )
• Khoảng ( (-frac{19}{2}, 4) ): Chọn ( m = 0 ) → ( (2(0) - 8)(2(0) + 19) = (-8)(19) < 0 )
• Khoảng ( (4, +infty) ): Chọn ( m = 5 ) → ( (2(5) - 8)(2(5) + 19) = (2)(29) > 0 )

Kết luận

Để phương trình ( 2x^3 + 3x^2 - 12x + 2m - 1 = 0 ) có 3 nghiệm phân biệt, giá trị của ( m ) phải thỏa mãn:

[ -frac{19}{2} < m < 4 ]