I. Lý thuyết 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng Cho điểm M và đường thẳng (Delta) đi qua N và có 1 VTCP (overrightarrow{u}) (d(M;Delta )=frac{left | left [ overrightarrow{NM};overrightarrow{u} right ] right |}{left | overrightarrow{u} right |}) (left ( =frac{2S_{Delta MNP}}{NP} right )) 2) Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng (Delta) và mặt phẳng (P), (Delta) // (P) Ax+By+Cz+D=0, M(x0;y0;z0) (d(Delta;(P))=d(M;(P)) M in Delta) (=frac{left | Ax+By+Cz+D right |}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}) 3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cách 1: (Delta _1) đi qua M1. có 1 VTCP (overrightarrow{u_1}) (Delta _2) đi qua M2. có 1 VTCP (overrightarrow{u_2}) (d(Delta _1;Delta _2)=frac{left | [overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2}] .overrightarrow{M_1M_2}right |}{[overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2}]}) Cách 2: AB là đoạn vuông góc chung (Delta _1), (Delta _2) (Ain Delta _1, Bin Delta _2) (Leftrightarrow left{begin{matrix} overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_1}=0 overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_2}=0 end{matrix}right.) (d(Delta _1;Delta _2)=AB) II. Bài tập
VD1: Cho điểm M(1;2;3) và (Delta :frac{x-1}{2}=frac{y}{2}=frac{z+1}{1}). Tính (d(M;Delta )) Giải (Delta) đi qua N(1;0;-1) và có 1 VTCP (overrightarrow{u}=(2;2;1)) (d(M;Delta )=frac{left | [overrightarrow{NM};overrightarrow{u}] right |}{ left | overrightarrow{u} right |}) (left.begin{matrix} overrightarrow{NM}=(0;2;4) overrightarrow{u}=(2;2;1) end{matrix}right}) ([overrightarrow{NM};overrightarrow{u}] = left ( begin{vmatrix} 2 4 2 1 end{vmatrix}; begin{vmatrix} 4 0 1 2 end{vmatrix}; begin{vmatrix} 0 2 2 2 end{vmatrix} right )=(-6;8;-4)) (d(M;Delta )=frac{left | [overrightarrow{NM};overrightarrow{u}] right |}{ left | overrightarrow{u} right |}= frac{sqrt{(-6)^2+8^2+(-4)^2}}{sqrt{2^2+2^2+1^2}}=frac{sqrt{116}}{3} =frac{2.sqrt{29}}{3}) Cách 2: (Hin Delta Rightarrow H(1+2t;2t;-1+t)) (overrightarrow{MH}=(2t;2t-2;-4+t)) H là hình chiếu M trên (Delta) nên (overrightarrow{MH}.overrightarrow{u}=0Leftrightarrow 4t+2(2t-2)-4+t=0) (Leftrightarrow 9t=8Leftrightarrow t=frac{8}{9}) (overrightarrow{MH}=(frac{16}{9};-frac{2}{9};-frac{28}{9})) (d(M;Delta )=MH=frac{sqrt{16^2+(-2)^2+(-28)^2}}{9}=frac{2sqrt{29}}{3}) Nhận xét: 1) Tìm (Hin Delta) sao cho MHmin
VD2: Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng (Delta: frac{x}{2}=frac{y}{3}=frac{z-1}{1}) và cách d (left{begin{matrix} x=-1-t y=3+2t z=4+3t end{matrix}right.) một khoảng bằng (frac{13sqrt{42}}{14}). Giải (Nin Delta Rightarrow N(2t;3t;1+t)) d đi qua M(-1;3;4), có 1 VTCP (overrightarrow{u}=(-1;2;3)) (overrightarrow{MN}=(2t+1;3t-3;t-3)) (overrightarrow{u}=(-1;2;3)) (left [ overrightarrow{MN};overrightarrow{u} right ]= left ( begin{vmatrix} 3t-3 t-3 2 3 end{vmatrix}; begin{vmatrix} t-3 2t+1 3 -1 end{vmatrix}; begin{vmatrix} 2t+1 3t-3 -1 2 end{vmatrix} right )) (= (7t-3;-7t;7t-1)) (d(N;d)=frac{left | [overrightarrow{MN};overrightarrow{u}] right |}{left | overrightarrow{u} right |}=frac{sqrt{(7t-3)^2+(-7t)^2+(7t-1)^2}}{sqrt{(-1)^2+2^2+3^2}}) (=frac{sqrt{147t^2-56t+10}}{sqrt{14}}) (d(N;d)=frac{13sqrt{42}}{14}) (Leftrightarrow frac{147t^2-56t+10}{14}=frac{169.42}{14^2}) (Leftrightarrow 147t^2-56t-497=0) (Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} t=frac{28-sqrt{73843}}{147} t=frac{28+sqrt{73843}}{147} end{matrix}) (Rightarrow Nleft ( frac{56mp 2sqrt{73843}}{147}; frac{84mp 3sqrt{73843}}{147} ; frac{175mp 2sqrt{73843}}{147} right )) VD3: Cho đường thẳng (Delta frac{x+1}{-1}=frac{y-2}{2}=frac{z}{3}) và ((P):2x+y+mz-1=0) a) Tìm m để (Delta //(P)) b) Tính (d(Delta ;(P))) Giải (Delta) đi qua M(-1;2;0), có 1 VTCP (overrightarrow{u}=(-1;2;3)) (P) có 1 VTPT (overrightarrow{n_P}=(2;1;m)) a) (Delta) // (P) (Leftrightarrowleft{begin{matrix} Mnotin (P) overrightarrow{u}.overrightarrow{n_P}=0 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} -2+2+0-1neq 0 -2+2+3m=0 end{matrix}right.Leftrightarrow m=0) b) Với m = 0 ((P): 2x+y-1=0) (d(Delta ;(P))=d(M;(P))=frac{left | -2+2-1 right |}{sqrt{2^2+1^2}}=frac{1}{sqrt{5}}) VD4: Cho ((d_1)left{begin{matrix} x=1+2t y=2+t z=-3+3t end{matrix}right.(d_2)left{begin{matrix} x=2+u y=-3+2u z=1+3u end{matrix}right.) a) CMR: d1, d2 chéo nhau b) Tính d(d1;d2) Giải a) d1 đi qua M1(1;2;-3), có 1 VTCP (overrightarrow{u_1}=(2;1;3)) d2 đi qua M2(2;-3;1), có 1 VTCP (overrightarrow{u_2}=(1;2;3)) (left [ overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2} right ]= left ( begin{vmatrix} 1 3 2 3 end{vmatrix};begin{vmatrix} 3 2 3 1 end{vmatrix};begin{vmatrix} 2 1 1 2 end{vmatrix} right )=(-3;-3;3)) (overrightarrow{M_1M_2}=(1;-5;4)) (left [ overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2} right ].overrightarrow{M_1M_2}= -3.1+(-3)(-5)+3.4=24neq 0) Vậy d1, d2 chéo nhau b) Cách 1: (d(d_1;d_2)=frac{left | [overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2}.overrightarrow{M_1M_2 }] right |}{left | overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2} right |}= frac{24}{sqrt{(-3)^2+(-3)^2+3^2}}=frac{24}{3sqrt{3}}=frac{8}{sqrt{3}}) (=frac{8sqrt{3}}{3}) Cách 2: (A(1+2t;2+t;-3+3t)in d_1) (B(2+u;-3+2u;1+3u)in d_2) AB là đoạn vuông góc chung (Leftrightarrow left{begin{matrix} overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_1}=0 overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_2}=0 end{matrix}right.Rightarrow left{begin{matrix} t u end{matrix}right.) AB = d(d1;d2)
