Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. a) Chứng minh (Delta ABH) đồng dạng với (Delta

a) Chứng minh (Delta ABH) đồng dạng với (Delta CBA).

Ta có tam giác ABC vuông tại A ( Rightarrow angle BAC = {90^o})

Mặt khác do tam giác ABC có đường cao AH

( Rightarrow angle BHA = {90^o} Rightarrow angle BAC = angle BHA = {90^o})

Xét (Delta ABH) và (Delta CBA) có:

(begin{array}{l}angle B,,,chungangle BHA = angle BAC = {90^o},,,left( {cmt} right) Rightarrow Delta ABH sim Delta CBA,,,left( {g - g} right)end{array})

b) Cho (BH = 4cm,BC = 13cm). Tính độ dài đoạn AB.

Ta có (Delta ABH sim Delta CBA,,left( {cmt} right) Rightarrow frac{{AB}}{{BC}} = frac{{BH}}{{AB}}) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

( Rightarrow A{B^2} = BC.BH = 13.4 = 52)

( Rightarrow AB = sqrt {52} ,,cm)

c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB, đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt cạnh AC tại F. Chứng minh (AE.CH = AH.FC)

Ta có (HE bot HF,,,left( {gt} right) Rightarrow angle EHF = {90^o}.)

( Rightarrow angle EHA + angle AHF = {90^o}) (1)

Mặt khác do tam giác ABC có đường cao AH

( Rightarrow angle AHC = {90^o}) (tc) ( Rightarrow angle FHC + angle AHF = {90^o}) (2)

Từ (1) và (2) ( Rightarrow angle EHA = angle FHC) (cùng phụ với (angle AHF))

Xét (Delta EHA) và (Delta FHC) có:

(begin{array}{l}angle EHA = angle FHC,,,,left( {cmt} right)angle EAH = angle FCH,,,left( {Delta ABH sim Delta CBA} right) Rightarrow Delta EHA sim Delta FHC,,,left( {g - g} right)end{array})

( Rightarrow frac{{AE}}{{FC}} = frac{{AH}}{{CH}}) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

( Rightarrow AE.CH = AH.FC,,,left( {dpcm} right).)

d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác EHF có diện tích nhỏ nhất.

Ta có tam giác ABC vuông tại A ( Rightarrow angle ACH + angle ABH = {90^o})

Lại có tam giác ABH vuông tại H ( Rightarrow angle BAH + angle ABH = {90^o})

( Rightarrow angle ACH = angle BAH) (cùng phụ với (angle ABH))

Xét (Delta CAH) và (Delta ABH) có:

(angle ACH = angle BAH,,,left( {cmt} right))

(angle AHC = angle BHA = {90^o}) (AH là đường cao của tam giác ABC)

( Rightarrow Delta CAH sim Delta ABH,,left( {g - g} right))

( Rightarrow frac{{AC}}{{AB}} = frac{{CH}}{{AH}}) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Mà (frac{{HF}}{{HE}} = frac{{CH}}{{AH}},,left( {do,,Delta EHA sim Delta FHC} right) Rightarrow frac{{HF}}{{HE}} = frac{{AC}}{{AB}})

Xét (Delta EHF) và (Delta BAC) có:

(begin{array}{l}angle EHF = angle BAC = {90^o}frac{{HF}}{{HE}} = frac{{AC}}{{AB}},,,left( {cmt} right)end{array})

( Rightarrow Delta EHF sim Delta BAC,,,left( {c - g - c} right)) với tỉ số đồng dạng (k = frac{{HE}}{{AB}})

( Rightarrow frac{{{S_{EHF}}}}{{{S_{ABC}}}} = {left( {frac{{HE}}{{AB}}} right)^2} Rightarrow {S_{EHF}} = {S_{ABC}}.{left( {frac{{HE}}{{AB}}} right)^2})

Mà ({S_{ABC}}) và AB không đổi nên để ({S_{EHF}}) nhỏ nhất ( Leftrightarrow HE) nhỏ nhất ( Leftrightarrow HE bot AB)

Vậy với E là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB thỏa mãn yêu cầu đề bài.