Số thực là gì? Khái niệm, phân loại và các dạng bài tập

Số thực là nền tảng quan trọng trong Toán học, bao gồm cả số hữu tỉ và số vô tỉ. Khi hiểu rõ số thực là gì, học sinh sẽ dễ dàng nắm được khái niệm, tính chất và cách phân loại. Nhờ đó, con có thể học chắc kiến thức và áp dụng hiệu quả trong nhiều dạng bài toán thực tế.

Nếu ba mẹ đang tìm một môi trường học tập chất lượng, nơi con được rèn luyện tư duy Toán học bài bản từ những kiến thức nền tảng như số thực, hãy khám phá chương trình tại trường liên cấp Việt Anh. Với phương pháp giảng dạy hiện đại và đội ngũ giáo viên tận tâm, nhà trường sẽ giúp học sinh tự tin chinh phục Toán học và phát triển toàn diện.

Số thực là gì? Tập hợp các số thực được kí hiệu là gì?

Khái niệm số thực xuất hiện từ thế kỷ 17, khi nhà toán học Pháp René Descartes dùng thuật ngữ này để phân biệt giữa nghiệm “thực” và nghiệm “ảo” của phương trình. Đến năm 1871, nhà toán học Georg Cantor đã xây dựng lý thuyết đầy đủ hơn về tập hợp số thực, giúp khái niệm này trở nên chính xác và được sử dụng cho đến ngày nay.

Dù là số nguyên, phân số hay các số có phần thập phân dài vô tận, nếu biểu diễn được trên trục số thì đều là số thực.

Số thực ký hiệu R (hoặc ℝ) (tiếng Anh: Real numbers) là tập hợp các số có thể biểu diễn trên trục số. Tập hợp ℝ bao gồm:

• Số nguyên dương và âm (ví dụ:1, -3, 0,…).
• Số thập phân và phân số (như 2.5, ( -frac{3}{4} ),…).
• Số vô tỉ như căn bậc hai của 2((sqrt{2})) hay số pi ((pi)).

Tập hợp số thực gồm những số nào?

Sau khi đã hiểu số thực là gì, có thể thấy tập hợp này được chia thành nhiều nhóm nhỏ như số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỉ, tạo nên một hệ thống số hoàn chỉnh trong toán học.

• Tập hợp các số tự nhiên (kí hiệu là N): N = {0, 1, 2, 3,…}
• Tập hợp các số nguyên (kí hiệu là Z): Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
• Tập hợp các số hữu tỉ (kí hiệu là Q): Q = {( x = frac{a}{b} ) với điều kiện là số a,b ϵ Z, b ≠ 0} ), ví dụ: ( Q = left{ frac{1}{2}, -frac{4}{3}, 2.5 right} )
• Tập hợp các số vô tỉ (kí hiệu là I): I = {số thập phân vô hạn không có tuần hoàn, ví dụ số pi, các số căn như ( sqrt{2}, sqrt{3}, ldots )

Xem thêm: Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ & Cách tính hàm hữu tỉ

Các tính chất cơ bản của tập hợp số thực R

Những tính chất cơ bản dưới đây giúp chúng ta hiểu rõ vì sao số thực có vai trò đặc biệt.

• Tính đầy đủ: Trên trục số không tồn tại khoảng trống, mỗi vị trí đều gắn với một số thực.
• Tính liên tục: Giữa hai giá trị bất kỳ luôn có vô hạn số thực xen vào.
• Tính thứ tự: Với hai số thực a, b chỉ có thể xảy ra một trong ba quan hệ: nhỏ hơn ( a < b ), bằng ( a = b ) hoặc lớn hơn ( a > b).
• Tính không đếm được: Số thực tạo thành một tập hợp vô hạn, rộng hơn số tự nhiên và không thể liệt kê toàn bộ.

Biểu diễn số thực trên trục số

Trên trục số thực, ta có thể biểu diễn:

• Số nguyên: … -1, 0, 1, 2, 3 …
• Số thập phân: -0.5, 2.7, 3.14159…
• Số vô tỉ: ( sqrt{2}, sqrt{5}, pi, e, ldots )

Sự khác biệt giữa số thực, số nguyên và số phức

Dưới đây là bảng tổng hợp các tiêu chí cơ bản giúp phân biệt rõ ba tập hợp số:

Tiêu chí Số nguyên Số thực Số phức Định nghĩa, ví dụ Số không có phần thập phân.

Ví dụ: -2, 0, 5

Bao gồm số hữu tỉ và vô tỉ.

Ví dụ: -1, 0.5, ( sqrt{2}),

Dạng a + bi, với a, b ∈ ℝ và i² = -1

Ví dụ: 3 + 2i. Khi b = 0, số phức trở thành số thực

Ký hiệu tập hợp ℤ ℝ ℂ Phần thập phân Không có Ở dạng số nguyên hoặc số thập phân Phần thực a có thể là số nguyên hoặc số thập phân Phần ảo Không có Không có Có (b ≠ 0) hoặc = 0 Biểu diễn hình học Trên trục số Trên trục số Trên mặt phẳng phức (trục thực - trục ảo) Các tập hợp con ℤ ⊂ ℝ ⊂ ℂ ℝ ⊂ ℂ ℂ là tập lớn nhất, bao gồm cả ℝ và ℤ Ứng dụng cụ thể Đếm, lập trình, toán học cơ bản Tính toán, vật lý, kỹ thuật, kinh tế Điện tử, cơ học lượng tử, xử lý tín hiệu

Các dạng bài tập về số thực và lời giải chi tiết

Để hiểu rõ hơn về số thực là gì, học sinh cần tiếp cận qua các dạng bài tập cụ thể. Những những dạng bài tập và ví dụ dưới đây sẽ giúp việc học trở nên dễ hiểu và gần gũi hơn.

Dạng 1: Bài tập về tập hợp số thực

Ký hiệu toán học cơ bản của các tập hợp số:

• N: tập số tự nhiên.
• Z: tập số nguyên.
• Q: tập số hữu tỉ.
• I: tập số vô tỉ.
• R: tập số thực.

Mối quan hệ giữa các tập hợp số được thể hiện như sau: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R và I ⊂ R.

Bài tập

1) Số (-4) thuộc tập hợp số nào dưới đây?

A. N  B. Q  C. I  D. R

Chọn đáp án: D. R

2) Số (sqrt{5}) thuộc tập hợp số nào dưới đây?

A. N  B. Q  C. I  D. R

Chọn đáp án: D. R (số vô tỉ)

Dạng 2: Nhận biết và phân loại số thực

• Số thực bao gồm cả số hữu tỉ (viết được dưới dạng phân số) và số vô tỉ (không viết được dưới dạng phân số).
• Số nguyên và số thập phân hữu hạn đều thuộc tập số thực.
• Các số có phần thập phân vô hạn không lặp lại, như ((pi)) hay ( sqrt{2})​, thuộc nhóm số vô tỉ.

Bài tập

1) Xác định các số sau thuộc tập con nào của R:

a) -7 b) ( frac{3}{4} ) c) (sqrt{9}) d) 0.333… e) ( frac{pi}{2} )

Đáp án:

a) (-7 in mathbb{Z}, mathbb{Q}, mathbb{R}) b) ( frac{3}{4} ) ∈ Q, R c) (sqrt{9} = 3 in mathbb{N}, mathbb{Z}, mathbb{Q}, mathbb{R}) d) 0.333… = ( frac{1}{3} ) ∈ Q, R e) ( frac{pi}{2} in mathbb{R} text{ (số vô tỉ)} )

2) Trong các số sau, số nào là số vô tỉ?

A. ( frac{5}{2} )  B. (sqrt{3})  C. -7  D. 2.5

Chọn đáp án: B. (sqrt{3})

Dạng 3: Tìm số chưa biết trong đẳng thức liên quan đến số thực

• Dùng các tính chất của phép toán để biến đổi.
• Dựa vào mối quan hệ giữa các số hạng trong tổng, hiệu, cũng như giữa thừa số, số bị chia - số chia - thương trong phép nhân và phép chia.
• Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc bỏ ngoặc khi cần thiết.

Bài tập

1) Giải phương trình 3x + 5 = 14

A. x = 2 B. x = 3 C. x = 4 D. x = 5

Giải: 3x + 5 = 14 ⟹ 3x = 14 − 5 ⟹ 3x = 9 ⟹ x = 3 ⟹ Chọn B

2) Giải phương trình 2x − 7 = 5x + 2

A. x = 2 B. x = −2 C. x = 3 D. x = −3

Giải: 2x − 7 = 5x + 2 ⟹ −7 − 2 = 5x − 2x ⟹ −9 = 3x ⟹ x = −3 ⟹ Chọn D

Dạng 4: Tính giá trị biểu thức có số thực

• Kết hợp linh hoạt các phép cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa, đồng thời tuân theo đúng thứ tự tính toán.
• Rút gọn phân số ở những bước cần thiết.

Bài tập

1) Tính giá trị của biểu thức A = (sqrt{25}) + ( frac{3}{2} )

A. 5,5  B. 6  C. 6,5  D. 7

Giải: (sqrt{3}) = 5; ( frac{3}{2} ) = 1,5 ⟹ A = 5 + 1,5 = 6,5 ⟹ Chọn C

2) Tính giá trị của biểu thức ( B = pi - sqrt{9} + 4{,}5 )

A. 4,54  B. 4,64  C. 4,74  D. 4,84

Giải: (pi approx 3{,}14; sqrt{9} = 3 Rightarrow 3{,}14 - 3 + 4{,}5 = 4{,}64 Rightarrow text{Chọn B})

Dạng 5: So sánh các số thực

• Với hai số thực bất kỳ x và y, ta có một trong ba trường hợp: x=y, x<y, hoặc x>y.
• Các số thực lớn hơn 0 gọi là số dương, còn nhỏ hơn 0 gọi là số âm.
• Số 0 không được xếp vào nhóm số dương hay số âm.
• Cách so sánh giữa các số dương cũng giống như khi so sánh các số hữu tỉ.
• Với hai số thực dương a và b, nếu a>b thì (sqrt{a}) > (sqrt{b})​.

Bài tập

1) Cho các số: 4; 0; 8; -7; −2,5. Hãy sắp xếp các số này theo thứ tự từ lớn đến nhỏ.

Cách giải: Ta có: 8 > 4 > 0 > −2,5 > −7.

2) Sắp xếp các số thực sau theo thứ tự tăng dần: 0,572; 0,5713; ( frac{4}{7} ); 0,5731; 0,5709

Cách giải: 0,5709 < 0,5713 < ( frac{4}{7} ) < 0,572 < 0,5731

Chương trình Toán học tại Trường Việt Anh giúp học sinh làm quen từ kiến thức cơ bản như số thực là gì, khái niệm số thực, tập hợp số thực đến các dạng bài nâng cao. Các bài giảng bám sát chuẩn chương trình quốc gia, kết hợp phương pháp giảng dạy tích cực hiện đại, dễ hiểu, giúp học sinh hiểu rõ số thực là số gì và ký hiệu số thực R trong các bài học.

Ba mẹ có thể đăng ký tìm hiểu thêm để con được học tập trong trường quốc tế, phát triển toàn diện và tự tin chinh phục Toán học từ nền tảng số thực đến các kiến thức tư duy bậc cao.

Câu hỏi thường gặp

Số thực có phải là số thập phân không?

Không, không phải tất cả các số thực đều là số thập phân, nhưng mọi số thập phân (dù hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn) đều thuộc tập hợp số thực.

Làm sao biết một số là hữu tỉ hay vô tỉ?

Bạn chỉ cần kiểm tra xem số có thể biểu diễn dưới dạng phân số a/b không​ (với a và b là các số nguyên, và b khác 0) hay không. Nếu có thể, thì số đó là hữu tỉ; nếu không, thì nó là số vô tỉ.

Số 0 có phải là số thực không?

Có, số 0 là một số thực. Các số thực lớn hơn 0 được gọi là số thực dương, trong khi các số thực nhỏ hơn 0 được gọi là số thực âm.

Số thực có vô hạn không?

Số thực có phạm vi vô hạn, không giới hạn về giá trị. Có thể là những số rất nhỏ, ví dụ 0.00001, hoặc rất lớn, ví dụ 1.000.000.000.

Qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn số thực là gì, đặc điểm và cách nhận biết. Việc nắm vững khái niệm số thực giúp học sinh phân loại, so sánh và áp dụng hiệu quả trong học tập.

Trường Việt Anh là một môi trường học tập chất lượng, nơi học sinh có thể rèn luyện tư duy logic, sáng tạo và củng cố nền tảng kiến thức vững chắc, từ các khái niệm cơ bản như tập hợp số thực hay ký hiệu số thực R. Hãy liên hệ với chúng tôi để được tư vấn chương trình học phù hợp, giúp con em phát triển toàn diện, tự tin chinh phục những thử thách trong học tập.

Thông tin liên hệ:

Trường THPT Quốc tế Việt Anh - Đào tạo học sinh giỏi chuyên Anh

• Cơ sở Phú Nhuận: 269A Nguyễn Trọng Tuyển, P.10, Q.Phú Nhuận, TP.HCM
• Cơ sở Gò Vấp: 160/72 Phan Huy Ích, P.An Hội Tây, TP.HCM
• Cơ sở Bình Tân: 951/7 Tỉnh lộ 10, P.Bình Tân, TP.HCM
• Cơ sở Mầm non Việt Anh - Lê Đức Thọ: 573 Lê Đức Thọ, P.An Hội Đông, TP.HCM
• Cơ sở Nhân Lễ (Long An): 22 Đường D2, KDC Long Hậu, Cần Giuộc, Long An
• Cơ sở Mekong Xanh (An Giang): Lô E7, Đường số 13, KĐT Tây Bắc, P.Rạch Giá, An Giang

Hotline: 0916 961 409 (Ms. Tú)