Công sai cấp số cộng: Công thức, ví dụ và bài tập có lời giải

Cấp số cộng là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11. Trong đó, đặc trưng của cấp số cộng chính là công sai của cấp số cộng. Vậy, làm sao để xác định được công sai cấp số cộng? Có những cách làm nào để xác định công sai cấp số cộng? Đó chính là những nội dung sẽ được đề cập trong bài viết sau đây. Để hiểu rõ hơn, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu nội dung chi tiết.

1. Công sai của cấp số cộng là gì ?

+ Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là:

(un) là cấp số cộng n 2, un = un-1 + d.

+ Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Ví dụ: Dãy số 1; 6; 11; 16; 21; 26; 31; 36 là một cấp số cộng vì kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng đứng sau luôn bằng số hạng đứng trước cộng với 5. Do đó, công sai cấp số cộng là d = 5.

2. Cách tính công sai của cấp số cộng

2.1. Tìm công sai d của cấp số cộng khi biết hai số hạng liền kề

+ Lý thuyết:

• (un) là cấp số cộng n 2, un = un-1 + d.
• Do đó, để tìm công sai d của cấp số cộng, ta áp dụng công thức:

d = un - un-1.

Ví dụ: Cho (un) là một cấp số cộng có các số hạng u3 = 10; u4 = 13. Tìm công sai d của cấp số cộng.

Giải

Vì (un) là một cấp số cộng nên:

u4 = u3 + d

Suy ra: d = u4 - u3 = 13 - 10 = 3.

Vậy, công sai cấp số cộng là d = 3.

2.2. Tìm công sai d của cấp số cộng khi biết hai số hạng và chúng bị cách nhau bởi một số hạng nào đó

+ Lý thuyết:

• Cho (un) là một cấp số cộng.
• Cho các giá trị của số hạng uk và uk+2.
• Đề bài yêu cầu tìm công sai d của cấp số cộng. Chúng ta cần thực hiện các bước như sau:

• Biểu diễn uk+1 = uk + d.
• Lúc này, uk+2 = uk+1 + d = uk + d + d = uk + 2d
• Vì uk và uk+2 là các số hạng đã biết. Do đó, thế uk và uk+2 vào phương trình: uk+2 = uk + 2d để tìm ra công sai d của cấp số cộng.

Ví dụ: Cho (un) là một cấp số cộng có u3 = - 2; u5 = 8. Hãy tìm công sai d của cấp số cộng.

Giải

+ Ta có: u4 = u3 + d = - 2 + d.

+ Ta có: u5 = u4 + d = - 2 + d + d = - 2 + 2d.

+ Theo đề bài, u5 = 8 nên ta có phương trình:

- 2 + 2d = 8

2d = 10

d = 5

Vậy, công sai cấp số cộng là d = 5.

2.3. Tìm công sai d của cấp số cộng dựa vào định lí về số hạng tổng quát

+ Định lí về số hạng tổng quát: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định theo công thức:

un = u1 + (n - 1).d

+ Do đó, khi biết giá trị số hạng đầu và số hạng thứ n của cấp số cộng. Để tìm công sai d của cấp số cộng, ta áp dụng công thức:

d = .

Ví dụ: Cho (un) là một cấp số cộng có u1 = - 4; u9 = 28. Tìm công sai d của cấp số cộng.

Giải

+ Theo định lí về số hạng tổng quát: un = u1 + (n - 1).d

Áp dụng vào bài, ta có:

u9 = u1 + (9 - 1).d

- 4 + 8.d = 28

8.d = 32

d = 4.

Vậy, công sai cấp số cộng là d = 4.

3. Bài tập tìm công sai của cấp số cộng

Bài 1: Cho (un) là một cấp số cộng có u2 = 9; u4 = 35. Công sai cấp số cộng này là:

1. d = 12
2. d = 13
3. d = 14
4. d = 15

+ Ta có: u3 = u2 + d = 9 + d.

+ Ta có: u4 = u3 + d = 9 + d + d = 9 + 2d.

Mà u4 = 35 nên ta có phương trình:

9 + 2d = 35

2d = 26

d = 13

Vậy, công sai cấp số cộng là d = 13.

Chọn câu B

Bài 2: Dãy số - 7; - 1; 5; 11; 17; ... là một cấp số cộng có:

1. Công sai d = 4
2. Công sai d = 5
3. Công sai d = 6
4. Công sai d = 7

Trong dãy số nêu trên, kể từ số hạng thứ hai trở đi. Mỗi số hạng đứng sau đều bằng số hạng đứng trước cộng thêm 6.

Do đó, đây là một cấp số cộng có công sai d = 6.

Chọn câu C

Bài 3: Cho (un) là một cấp số cộng có u1 = 4; u12 = 59. Công sai cấp số cộng là:

1. d = 2
2. d = 3
3. d = 4
4. d = 5

+ Theo định lí về số hạng tổng quát, ta có: un = u1 + (n - 1).d

Áp dụng vào bài, ta có:

u12 = u1 + (12 - 1).d

4 + 11d = 59

11d = 55

d = 5.

Vậy, công sai cấp số cộng là d = 5.

Chọn câu D

Bài 4: Cho (un) là một cấp số cộng có u1 = - 7 và u3 + u8 = 22. Lúc này, công sai của cấp số cộng là:

1. d = 3
2. d = 4
3. d = 5
4. A, B, C đều sai

+ Ta có: u3 = u1 + 2d ; u8 = u1 + 7d

Suy ra: u3 + u8 = 2u1 + 9d

+ Theo đề bài, u1 = - 7 và u3 + u8 = 22 nên ta có phương trình:

2.(- 7) + 9d = 22

- 14 + 9d = 22

9d = 36

d = 4

Vậy, công sai cấp số cộng là d = 4.

Chọn câu B

Bài 5: Cho (un) là một cấp số cộng có u10 - u6 = 56. Lúc này, công sai cấp số cộng là:

1. d = 10
2. d = 12
3. d = 14
4. Chưa đủ dữ kiện để kết luận

+ Ta có: u10 = u1 + 9d ; u6 = u1 + 5d.

Suy ra: u10 - u6 = 4d.

+ Theo đề bài, u10 - u6 = 56 nên ta có phương trình:

4d = 56

d = 14.

Vậy, công sai cấp số cộng là d = 14.

Chọn câu C

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể ghi nhớ cách tìm công sai cấp số cộng. Đồng thời vận dụng vào việc giải quyết các bài tập liên quan về công sai cấp số cộng. Ôn tập, củng cố kiến thức để chuẩn bị cho các kì thi sắp tới.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang