Nguyễn Anh Tuấn – Giáo viên Toán Trường THPT Lê Quảng Chí

Trong các đề thi đại học, một phần không thể thiếu là các bài toán về cực trị của hàm số. Một dạng toán thường hay gặp là tìm giá trị tham số để hàm số có cực trị và cực trị thỏa tính chất P nào đó. Bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba đóng vai trò quan trọng và có nhiều dạng toán cần sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Trong một bài viết nhỏ này, chúng ta sẽ bàn về cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba (nếu có ) và các ứng dụng của nó.

I - ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ BẬC BA CÓ CỰC TRỊ

Xét hàm số $y=a{x^3}+b{x^2}+cx+dleft({ane 0}right)$ có $y'=3a{x^2}+2bx+c$

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình $y'$ có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua hai nghiệm đó.

Khi đó, nếu ${x_0}$ là điểm cực trị thì giá trị cực trị $yleft({{x_0}}right)$ được tính như sau:

$yleft({{x_0}}right)=a{x_0}^3+b{x_0}^2+c{x_0}+d$

II - ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ

1. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Giả sử hàm số bậc ba $y=f(x)=a{x^3}+b{x^2}+cx+dleft({ane 0}right)$ có hai điểm cực trị là ${x_1};{x_2}$ . Khi đó, thực hiện phép chia $f(x)$ cho $f'(x)$ ta được : $fleft(xright)=Qleft(xright).f'left(xright)+Ax+B$

Do đó, ta có: $left{begin{array}{l} {y_1}=fleft({{x_1}}right)=A{x_1}+B {y_2}=fleft({{x_2}}right)=A{x_2}+B end{array} right.$

Suy ra, các điểm $left( {{x_1};{y_1}} right),left( {{x_2};{y_2}} right)$ nằm trên đường thẳng $y = Ax + B$

2. Áp dụng

a) Có thể sử dụng phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu để tìm cực trị khi biết điểm cực trị của hàm số.

b) Vận dụng hệ thức Vi-et và phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu để giải quyết bài toán tìm giá trị tham số để hàm số có CĐ, CT thỏa tính chất P.

III- MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số sau

a) $y = {x^3} - 2{x^2} - x + 1$

b) $y = 3{x^2} - 2{x^3}$

Giải:

a) Ta có:

$y' = 3{x^2} - 4x - 1=0$ có hai nghiệm phân biệt. Thực hiện phép chia $y$ cho $y'$ ta được

$y=left({frac{1}{3}x-frac{2}{9}}right).y'+left({-frac{{14}}{9}x+frac{7}{9}}right)$

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=-frac{{14}}{9}x+frac{7}{9}$ .

b) Ta có $y'=-6{x^2}-6x$ có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:

$y = x$

Ví dụ 2: Cho hàm số $y={x^3}-3m{x^2}+3left({{m^2}-1}right)x-{m^3}$ ( m là tham số )

a) Tìm $m$ để hàm số có cực đại cực tiểu.

b) Với $m$ như trên hãy viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Giải:

a) Ta có: $y'=3{x^2}-6mx+3left({{m^2}-1}right)$

$Delta '=9{m^2}-9left({{m^2}-1}right)=9>0$ $forall m$

Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi $m$

b) Thực hiện phép chia y cho y’, ta được :

$y=left({frac{1}{3}x-frac{m}{3}}right)y'+left({-2x-m}right)$

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: $y=- 2x-m$

Ví dụ 3: Cho hàm số $y=2{x^3}+3left({m - 1}right){x^2}+6left( {m - 2}right)x-1$ (1)

Tìm $m$ để hàm số (1) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng $y=-4x+1$

Giải:

Ta có: $y'=6{x^2}+6left({m-1}right)x+6left({m - 2}right)$

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

$Delta '=9{left({m-1}right)^2}-36left({m-2}right)=9{left({m-3} right)^2}>0$

$Leftrightarrow m ne 3$ (1)

Thực hiện phép chia $y$ cho $y'$ ta có phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:

$y=left({-{m^2}+6m-9}right)x-{m^2}+3m-3$ .

Để đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng $y=-4x+1$ ta phải có:

$left{begin{array}{l} - {m^2}+6m-9= - 4 - {m^2}+3m-3ne 1 end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{l} m=1vee m=5 {m^2}-3m+4ne 0 end{array}right.Leftrightarrow m=1vee m=5$

Kết hợp với điều kiện (1), ta có giá trị $m$ cần tìm là : $m=1$ ; $m=5$

Ví dụ 4: Cho hàm số $y={x^3}+m{x^2}+7x+3$ . Tìm $m$ để đường thẳng đi qua cực đại cực tiểu của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng $y=frac{3}{{10}}x+2012$ .

Giải:

Ta có: $y'=3{x^2}+2mx+7$

Hàm số có cực đại, cực tiểu $Delta '={m^2}-21>0Leftrightarrow left[ begin{array}{l} m>sqrt {21} m<-sqrt {21} end{array}right.left(*right)$

Thực hiện phép chia $y$ cho $y'$ ta có phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:

$y=left({frac{{14}}{3}-frac{{2{m^2}}}{9}}right)x+frac{{27-7m}}{9}$

Để đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm sô vuông góc với đường thẳng $y=3x-7$ , ta phải có:

$frac{3}{{10}}left({frac{{14}}{3}-frac{{2{m^2}}}{9}}right)=-1Leftrightarrow m=pm 6$ thỏa điều kiện (*).

Nguyễn Anh Tuấn – Giáo viên Toán Trường THPT Lê Quảng Chí – Hà Tĩnh