Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.
Công thức lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức
Lý thuyết Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
cos (a - b) = cosa cosb + sina sinb
cos (a + b) = cosa cosb - sina sinb
sin (a - b) = sina cosb - cosa sinb
sin (a + b) = sina cosb + cosa sinb
tan (a-b) = tana−tanb1+tanatanb
tan (a+b) = tana+tanb1-tanatanb
(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).
Ví dụ: Không dùng máy tính, hãy tính sin và tan 15°.
Hướng dẫn giải
Ta có
sin = -sin7π6 = -sin
= -sinπcosπ6 - cosπsinπ6 = -0.32 - (-1).12 = 12.
Ta có
tan15o = tan(60o - 45o) = tan60°−tan45°1+tan60°.tan45°
=3−11+3.1=3−13+1=2−3
2. Công thức nhân đôi
sin2a = 2sina cosa
cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2 - 1 = 1 - 2sin2a
tan2a = 2tana1−tan2a.
Chú ý: Từ công thức nhân đôi suy ra công thức hạ bậc:
cos2a=1+cos2a2
sin2a=1−cos2a2.
Ví dụ: Biết sinα = 25 và 0 < α < π2 . Tính sin2α ; cos2α và tan2α.
Hướng dẫn giải
Vì 0 < α < π2 nên cosα > 0.
Ta có:
sin2α + cos2α = 1 ⇒ cos2α = 1 - sin2α = 1-= 2125
⇒ cosα = 215.
Ta có: sin2α = 2sinα cosα = 2.25.215=42125
cos2α = 1 - 2sin2α = 1 - 2.= 1725
tanα=sinαcosα=22121
⇒ tan2α=2tanα1−tan2α==42117.
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
cosacosb = 12[cos(a-b) + cos(a+b)]
sinasinb = 12[cos(a-b) - cos(a+b)]
sinacosb = 12[sin(a-b) + sin(a+b)].
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức
a) A = sin7π12cos5π12;
b) B = sinπ12sin7π12.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Vậy A = 14.
b) Ta có:
Vậy B = 14 .
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
cosu + cosv = 2cosu+v2cosu-v2
cosu - cosv = -2sinu+v2sinu-v2
sinu + sinv = 2sinu+v2cosu-v2
sinu - sinv = 2cosu+v2sinu-v2.
Ví dụ: ChoA = cosπ17.cos4π17 và B = cos3π17 + cos5π17. Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức AB.
Hướng dẫn giải
Ta có:
B = cos3π17 + cos5π17 = 2.cos3π17+5π172.cos3π17−5π172
= 2.cos4π17.cos = 2cos4π17.cosπ17.
Suy ra AB=cosπ17.cos4π17cos3π17+cos5π17=cosπ17.cos4π172cos4π17.cosπ17=12 .
Bài tập Công thức lượng giác
Bài 1. Tính sin2a và tan2a biết cos a = 14 và 3π2<a<2π.
Hướng dẫn giải
Vì 3π2<a<2πnên sina < 0.
Ta có:
sin2a + cos2a = 1 ⇒ sin2a = 1 - cos2a = 1 - = 1516
⇒ sina = −154.
Ta có: sin2a = 2sina cosa = 2..14 = -158
Ta có: tana = sinacosa=−15
⇒tan2a=2tana1−tan2a===−215−14=157.
Bài 2. Tính
a) sin biết sin a = 34 và 0 < a < π2;
b) cos3π8.cosπ8 + sin3π8.sinπ8.
Hướng dẫn giải
a) Vì 0<a<π2 nên cosa > 0.
Ta có: sin2a + cos2a = 1 ⇒ cos2a = 1 - sin2a = 1-=716
⇒ cosa = 74.
Vậy sin=sinacosπ3−cosasinπ3=34.12−74.32=3−218 .
Suy ra: cos3π8.cosπ8+sin3π8.sinπ8=24+24=22.
Bài 3. Tính
a) cos(-15°) + cos255°;
b) sin13π24sin5π24.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
cos(-15o) + cos255o = 2.cos−15°+255°2.cos−15°−255°2
= 2.cos120o.cos(135o) = 2
Vậy cos(-15°) + cos255° = 22.
b) Ta có:
Vậy sin13π24sin5π24=1+24.
Học tốt Công thức lượng giác
Các bài học để học tốt Công thức lượng giác Toán lớp 11 hay khác:
Giải sgk Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 hay khác:
Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác
Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản
Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 1
Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Dãy số
Lý thuyết Toán 11 Bài 6: Cấp số cộng
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:
- Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
- Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
- Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
- Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
