Công thức tính độ dài đường trung tuyến (chi tiết nhất)
I. Lý thuyết tổng hợp
- Đường trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện.
- Các đường trung tuyến của tam giác giao nhau tại trọng tâm của tam giác.
- Trong tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của BC thì đường trung tuyến AM cũng là đường cao, đường phân giác và đường trung trực.
- Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
- Độ dài đường trung tuyến: Gọi ma,mb,mc là độ dài đường trung tuyến lần lượt vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC, ta có:
II. Các công thức
Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC ta có: AM=12BC.
Gọi ma,mb,mc là độ dài đường trung tuyến lần lượt vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC, ta có:
(với G là trọng tâm của tam giác ABC).
III. Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 4cm và BC = 4cm. Các điểm M, N, P lần lượt là là trung điểm của BC, AB, AC. Tính độ dài AM, BP và CN.
Lời giải:
Các điểm M, N, P lần lượt là là trung điểm của BC, AB, AC.
⇒ AM, BP, CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Xét tam giác ABC ta có:
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Có BC = 10cm. Điểm M là trung điểm của BC. Tính độ dài AM.
Lời giải:
Xét tam giác ABC vuông tại A có:
M là trung điểm của BC⇒ AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.
⇒AM=12BC=12.10=5 (cm)
Bài 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, N là trung điểm của AB. Tính độ dài CN biết CG = 4cm.
Lời giải:
Xét tam giác ABC có trọng tâm G ta có:
N là trung điểm BC ⇒ CN là đường trung tuyến, điểm G nằm trên CN
Ta có:CG=23CN
⇒CN=32CG=32.4=6 (cm)
IV. Bài tập vận dụng
Bài 1. Tam giác ABC có AB = AC = 10 cm, BC = 12 cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.
Hướng dẫn giải:
Ta có tam giác ABC cân tại A, AM là trung tuyến suy ra AM là đường cao, đường phân giác của tam giác ABC nên BM = MC = 12BC = 6 cm
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông AMC có:
AC2 = AM2 + MC2 ⇒AM=AC2-MC2 = 8 cm
Bài 2. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC có góc BAC^=120°, AB = 4 cm, AC = 6 cm
Hướng dẫn giải:
Ta có BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos120o
⇒BC=29
⇒AM2=AB2+AC22-BC24
⇒AM=7
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có độ dài hai đường trung tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. Tính độ dài cạnh AB.
Hướng dẫn giải:
Tam giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến nên AM = BM = MC = 6
Suy ra BC = 12
Mặt khác:
Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17 cm, BC= 16 cm. Kẻ trung tuyến AM.
a) Chứng minh: AM ⊥ BC;
b) Tính độ dài AM.
Hướng dẫn giải:
a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC
Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A
Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
Vậy AM vuông góc với BC
b. Ta có
BC = 16cm nên BM = MC = 8cm
AB = AC = 17cm
Xét tam giác AMC vuông tại M
Áp dụng định lý Pythagore ta có: AC2 = AM2 + MC2 hay 172 = AM2 + 82.
Suy ra AM2 = 172 - 82 = 225.
Do đó AM = 15 cm.
Bài 5. Cho tam giác MNP cân ở M có MB = MC = 17 cm, NP= 16 cm. Kẻ trung tuyến MI.
a) Chứng minh: MI ⊥ NP;
b) Tính độ dài MI.
Hướng dẫn giải:
a) Do MI là đường trung tuyến MNP nên IP = IN.
Mặt khác tam giác MNP cân tại M.
Do đó MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao hay MI ⊥ NP.
b) Ta có:
• NP = 16 cm nên NI = PI = 8 cm.
• MN = MP = 17 cm.
Xét tam giác MIP vuông tại I
Áp dụng định lý Pythagore, ta có:
• MP2 = MI2 + IP2 hay 192 = MI2 + 82
• MI2 = 172 - 82 = 225 suy ra MI = 15 cm.
